Question

（一）如圖，放在直角坐標系中的正方形ABCD的邊長為4．現做如下實驗：
拋擲一枚均勻的正四面體骰子（它有四個頂點，各頂點的點數分別是1至4這四個數字中的一個），每個頂點朝上的機會是相同的，連續拋擲兩次，將骰子朝上的頂點的點數作為直角坐標系中P點的坐標（第一次的點數作橫坐標，第二次的點數作縱坐標）．
（1）求P點落在正方形ABCD面上（含正方形內和邊界，下同）的概率；
（2）將正方形ABCD平移整數個單位，則是否存在一種平移，使點P落在正方形ABCD面上的概率為？若存在，指出其中的一種平移方式；若不存在，請說明理由；
（二）若將（一）中所做實驗用的“正四面體骰子”改為“各面標有1至6這六個數字中的一個的正方體骰子”，其余（實驗步驟、作用）均不變．將正方形ABCD平移整數個單位，試求出點P落在正方形ABCD面上的概率．

Answer 1

解：（一）（1）根據題意，點P的橫坐標有數字1，2，3，4四種選擇，點P的縱坐標也有數字1，2，3，4四種選擇，所以構成點P的坐標共有4×4=16種情況．其中點P的（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）四種情況將落在正方形ABCD面上，故所求的概率為．

（2）因為要使點P落在正方形ABCD面上的概率為，所以只能將正方形ABCD向上或向右整數個單位平移，且使點P落在正方形面上的數目為12．即
∴存在滿足題設要求的平移方式：先將正方形ABCD上移2個單位，后右移1個單位（先右后上亦可）；或先將正方形ABCD上移1個單位，后右移2個單位（先右后上亦可）．

（二）點P的橫、縱坐標都有數字1，2，3，4，5，6六種選擇，所以構成點P的坐標共有6×6=36種情況．
（1）移動0（即不移動）時，為．
（2）先下移1個單位，后左移0，1個單位時，為，，即，．
（3）先下移1個單位，后右移1，2，3個單位，為，，，即，，．
（4）先左移1個單位，后下移0.1個單位時，為，，即，．
（5）先左移1個單位，后上移1，2，3個單位時，為，，，即，，．
（6）上移1，2，3個單位時，為，，，即，，．
（7）右移1，2，3個單位時，為，，，即，，．
（8）先上移1個單位，后右移1，2，3個單位時，為，，，即，，．
（9）先上移2個單位，后右移1，2，3個單位時，為，，，即，，．
（10）先上移3個單位，后右移1，2，3個單位時，為，，，即，，．
（11）正方形下移或左移超過1個單位時，點P落在正方形ABCD面上的概率為0．在此點P落在正方形ABCD面上的概率（不同）為：
0，，，，，，，，，，，，，，．
分析：（一）依題意得點P的橫坐標有數字1，2，3，4四種選擇，縱坐標也有數字1，2，3，4四種選擇，故點P的坐標共有16種情況，有四種情況將落在正方形ABCD上，所以概率為．要使點P落在正方形面上的概率為，所以要將正方形移動使之符合．
（二）依題意可得如點P的橫縱坐標都有數字1，2，3，4，5，6六種選擇，所以構成點P的坐標共有36種情況．
點評：本題綜合考查了平移的性質，幾何概率的知識以及正方形的性質．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．