Question

【題目】如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點P，BQ⊥AD于Q．

(1）求證：△ADC≌△BEA；

（2）若PQ=4，PE=1，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）9.

【解析】

試題（1）由已知可得△ABC是等邊三角形，從而得到∠BAC=∠C=60°，根據SAS即可判定△ADC≌△BEA；

（2）根據全等三角形的性質可得到∠ABE=∠CAD，再根據等角的性質即可求得∠BPQ=60°，再根據余角的性質得到∠PBQ=30°，根據在直角三角形中30°的角對的邊是斜邊的一半即可證得結果．

試題解析：（1）∵AB=BC=AC，

∴△ABC是等邊三角形．

∴∠BAC=∠C=60°．

∵AB=AC，AE=CD，

∴△ADC≌△BEA．

（2）∵△ADC≌△BEA，

∴∠ABE=∠CAD．

∵∠CAD+∠BAD=60°，

∴∠ABE+∠BAD=60°．

∴∠BPQ=60°．

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ=30°．

∴BP=2PQ=8．

∴BE=BP+PE=8+1=9,

又BE=AD

∴AD=9.

考點: 1.等邊三角形的判定與性質；2.三角形全等的判定與性質.