Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC ， 射線AM平分∠BAC ．

（1）設AM交BC于點D ， 作DE⊥AB于點E ， DF⊥AC于點F ， 連接EF ． 有以下三種“判斷”：
判斷1：AD垂直平分EF．
判斷2：EF垂直平分AD．
判斷3：AD與EF互相垂直平分．
你同意哪個“判斷”？簡述理由；
（2）若射線AM上有一點N到△ABC的頂點B ， C的距離相等，連接NB ， NC ．
①請指出△NBC的形狀，并說明理由；
②當AB＝11，AC＝7時，求四邊形ABNC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：判斷3.理由如下：如圖，

∵DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F， ∠BAC＝90°，

∴四邊形AEDF是矩形，

又∵射線AM平分∠BAC，

∴∠DAE=∠DAF，

又∵AEDF是矩形，

∴AF//DE，

∴∠DAF=∠EDA。

∴∠EDA=∠DAE，

則AE=DE，

則矩形AEDF是正方形。

即AD與EF互相垂直平分．

（2）

解：①等腰直角三角形.理由如下：

作NE⊥AB于點E，NF⊥AC于點F，

由（1）可得四邊形AENF是正方形，

∴NE=NF，∠ENF=∠NEA=∠NFC=90°，

∴∠NEB=∠NFC=90°，

又NB=NC，

則△NBE≌△NCF，

∴∠BNE=∠CNF，

∴∠BNC=∠ENF=90°，

∴△NBC是等腰直角三角形.

②在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=.

在Rt△NBC中，∵NB=NC，BC=，

則NB=NC==，

則四邊形ABNC的面積=S△ABC+S△NBC=×11×７＋××＝×162=81.

【解析】（1）判斷四邊形AEDF為正方形，即可證明；
（2）①根據（1）中的方法作出兩條垂線，則可證得NE=NF，∠ENF=∠NEA=∠NFC=90°，再證明△NBE≌△NCF，通過等量代換，證明∠BNC=∠ENF=90°；
②由勾股定理求出△NBC直角邊的長度分別計算S△ABC和S△NBC即可求得答案.
【考點精析】關于本題考查的等腰直角三角形和勾股定理的概念，需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．