Question

【題目】已知在扇形中，圓心角，半徑．

（1）如圖1，過點作，交弧于點，再過點作于點，則的長為_________，的度數(shù)為_________；

（2）如圖2，設(shè)點為弧上的動點，過點作于點，于點，點分別在半徑，上，連接，則

①求點運動的路徑長是多少？

②的長度是否是定值？如果是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；

（3）在（2）中的條件下，若點是的外心，直接寫出點運動的路經(jīng)長．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①；②是定值，為；（3）

【解析】

（1）先求出∠AOE，再解直角三角形，即可得出結(jié)論；
（2）①當點M與點O重合時，∠PMB=30°，當點N與點O重合時，∠PNA=30°，進而求出點P運動路徑所對的圓心角是120°-30°-30°=60°，最后用弧長公式即可得出結(jié)論；
②先判斷出點P，M，O，N四點均在同一個圓，即⊙H上，進而求出MK=，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出三角形PMN的外接圓的圓心的運動軌跡，最后根據(jù)弧長公式即可得出結(jié)論．

解：（1）∵，∴，

∵，∴，

∵，∴，

在中，．

∴，，

故答案為：，

（2）①點在弧上運動，其路徑也是一段弧，由題意可知，

當點與點重合時，，

當點與點重合時，，

∴點運動路徑所對的圓心角是，

∴點運動的路徑長；

②是定值；

連接，取的中點，連接，，

∵在和中，點是斜邊的中點，

∴，

∴根據(jù)圓的定義可知，點四點均在同一個圓，即上，

又∵，，

∴，，

過點作，垂足為點，

由垂徑定理得，，

∴在中，，，則，

∴，是定值．

（3）由（2）知，點四點共圓，

∴是的外接圓的圓心，即：點和點重合，

∴，

∴點是以點為圓心，為半徑，

∴點運動路徑所對的圓心角是，

∴點運動路徑所對的圓心角是，

∴點運動的路經(jīng)長為．