Question

【題目】直線y= x﹣2與x、y軸分別交于點A、C．拋物線的圖象經過A、C和點B（1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線AC上方的拋物線上有一動點D，當D與直線AC的距離DE最大時，求出點D的坐標，并求出最大距離是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：在直線解析式y= x﹣2中，令x=0，得y=﹣2；令y=0，得x=4，

∴A（4，0），C（0，﹣2）．

設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

∵點A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）在拋物線上，

∴ ，

解得a=- ，b= ，c=﹣2．

∴拋物線的解析式為：y= x2+ x﹣2．

（2）

解：設點D坐標為（x，y），則y= x2+ x﹣2．

在Rt△AOC中，OA=4，OC=2，由勾股定理得：AC= ．

如答圖1所示，連接CD、AD．

過點D作DF⊥y軸于點F，過點A作AG⊥FD交FD的延長線于點G，

則FD=x，DG=4﹣x，OF=AG=y，FC=y+2．

S△ACD=S梯形AGFC﹣S△CDF﹣S△ADG

= （AG+FC）FG﹣ FCFD﹣ DGAG

= （y+y+2）×4﹣ （y+2）x﹣ （4﹣x）y

=2y﹣x+4

將y= x2+ x﹣2代入得：S△ACD=2y﹣x+4=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

∴當x=2時，△ACD的面積最大，最大值為4．

當x=2時，y=1，∴D（2，1）．

∵S△ACD= ACDE，AC= ，

∴當△ACD的面積最大時，高DE最大，

則DE的最大值為： ．

∴當D與直線AC的距離DE最大時，點D的坐標為（2，1），最大距離為 ．

【解析】（1）首先求出點A，點C的坐標；然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）AC為定值，當DE最大時，△ACD的面積最大，因此只需要求出△ACD面積的最大值即可．如解答圖所示，作輔助線，利用S△ACD=Sspan>梯形AGFC﹣S△CDF﹣S△ADG求出S△ACD的表達式，然后利用二次函數的性質求出最大值，并進而求出點D的坐標和DE的最大值．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的圖象和二次函數的性質，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．