Question

如圖，四邊形OABC為正方形，點A在x軸上，點C在y軸上，點B（8，8），點P在邊OC上，點M在邊AB上．把四邊形OAMP沿PM對折，PM為折痕，使點O落在BC邊上的點Q處．動點E從點O出發，沿OA邊以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，運動時間為t，同時動點F從點O出發，沿OC邊以相同的速度向終點C運動，當點E到達點A時，E、F同時停止運動．
（1）若點Q為線段BC邊中點，直接寫出點P、點M的坐標；
（2）在（1）的條件下，設△OEF與四邊形OAMP重疊面積為S，求S與t的函數關系式；
（3）在（1）的條件下，在正方形OABC邊上，是否存在點H，使△PMH為等腰三角形，若存在，求出點H的坐標，若不存在，請說明理由；
（4）若點Q為線段BC上任一點（不與點B、C重合），△BNQ的周長是否發生變化，若不發生變化，求出其值，若發生變化，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題根據圖形，知道點Q為線段BC邊中點，有知道點B的坐標，所以可以求出P、M的坐標．
（2）本題需先根據（1）的條件，可以分兩種情況進行解答，第一種情況當0≤t≤5時，可以求出S的值，第二種情況當5≤t≤8時，設EF與PM交點為R，作RI⊥y軸，MS⊥y軸，可以證出RI=FI，有根據FI=2PI可以證出FP=PI，PI=2PF，PF=t-5，RI=2（t-5）
最后解出結果．
（3）本題需先根據（1）的條件，可以分三種情況進行討論，第一種情況先作PM的中垂線交正方形的邊為點H₁，H₂，則PH₁=MH₁，PH₂=MH₂，所以點H₁，H₂即為所求點，分別求出H₁、H₂的坐標；第二種情況當PM=PH₃時的情況，分別求出PM、MH₃、OH₃的值，最后求出H₃的坐標．第三種情況當PM=MH₄時，分別求出PM、MH₄ BH4的值，即可求出H₄ 的坐標．
（4）本題需先根據所給的條件證出△CPQ∽△BQN，再設CQ=m，根據三角形的性質即可求出△BQN的周長．

解答：解：（1）∵點Q為線段BC邊中點，B（8，8），
∴P（0，5），M（8，1）；

（2）①當0≤t≤5時，S=

1

2

t2
     ②當5≤t≤8時，如圖，設EF與PM交點為R，作RI⊥y軸，MS⊥y軸，


∵EO=FO，∴RI=FI，
又∵

RI

PI

=

SM

PS

=

8

4

=2，
∴RI=2PI，
∴FI=2PI，
∴FP=PI，RI=2PF，
∴PF=t-5，RI=2（t-5），
∴S=S_△OEF-S_△PRF，
=

1

2

t2-

1

2

(t-5)•2(t-5)，
=-

1

2

t2+10t-25；

（3）①如圖作PM的中垂線交正方形的邊為點H₁，H₂，


則PH₁=MH₁，PH₂=MH₂，
∴點H₁，H₂即為所求點，
設OH₁=x，∵PH₁=MH₁，
∴x²+5²=（8-x）²+1²x=

5

2

，
∴H₁（

5

2

，0），
同理，設CH₂=y，∵PH₂=MH₂，
∴3²+y²=（8-y）²+7²y=

13

2

，
∴H₂（

13

2

，8），
②當PM=PH₃時，
∵PM=

82+42

=4

5

，
∴PH3=4

5

，又∵PO=5，
∴OH3=

55

，
∴H3(

55

，0)，
③當PM=MH₄時，
∵PM=4

5

，
∴MH4=4

5

，又∵BM=7，
∴BH4=

31

，
∴H4(8-

31

，8)，
綜上，一共存在四個點，H₁（

5

2

，0），H₂（

13

2

，8），H3(

55

，0)，H4(8-

31

，8)；

（4）∵∠PQN=90°，
∴∠CQP+∠BQN=90°，
又∵∠CQP+∠CPQ=90°，
∴∠CPQ=∠BQN，
又∵∠C=∠B=90°，
∴△CPQ∽△BQN，
設CQ=m，則在Rt△CPQ中，
∵m²+CP²=（8-CP）²，
∴CP=

64-m2

16

，
∴

△BQN的周長

△CPQ的周長

=

BQ

CP

=

8-m

64-m2 16

=

16

8+m

，
又∵△CPQ的周長=CP+PQ+CQ=8+m，
∴△BQN的周長=

16

8+m

×(8+m)，
=16．
∴△BQN的周長不發生變化，其值為16．

點評：本題主要考查了相似三角形判定和的性質，在解題時要注意要根據點的不同位置進行分類討論．