Question

問題背景：
若矩形的周長為1，則可求出該矩形面積的最大值．我們可以設矩形的一邊長為x，面積為s，則s與x的函數關系式為：s=-x2+

1

2

x（x＞0），利用函數的圖象或通過配方均可求得該函數的最大值．
提出新問題：
若矩形的面積為1，則該矩形的周長有無最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？
分析問題：
若設該矩形的一邊長為x，周長為y，則y與x的函數關系式為：y=2(x+

1

x

)（x＞0），問題就轉化為研究該函數的最大（小）值了．
解決問題：
借鑒我們已有的研究函數的經驗，探索函數y=2(x+

1

x

)（x＞0）的最大（小）值．
（1）實踐操作：填寫下表，并用描點法畫出函數y=2(x+

1

x

)（x＞0）的圖象：

x	…	1/4	1/3	1/2	1	2	3	4	…
y	…	17 2	20 3	5	4	5	20 3	17 2	…

（2）觀察猜想：觀察該函數的圖象，猜想當x=

1

時，函數y=2(x+

1

x

)（x＞0）有最

小

值（填“大”或“小”），是

4

．
（3）推理論證：問題背景中提到，通過配方可求二次函數s=-x2+

1

2

x（x＞0）的最大值，請你嘗試通過配方求函數y=2(x+

1

x

)（x＞0）的最大（小）值，以證明你的猜想．〔提示：當x＞0時，x=(

x

)2〕

Answer 1

分析：（1）將x的值代入已知的函數解析式中，在確定了各點的坐標后，再通過描點-連線作出函數的圖形．
（2）通過（1）的計算結果和函數圖象即可得到結論．
（3）題干最后的“提示”已經給出了解題的思路，首先可以將函數化為：y=2（x+

1

x

）=2（

x

-

1

x

）²+2，根據x的取值范圍即可判斷出y的最小值．

解答：解：（1）當x=

1

4

時，y=2×（

1

4

+4）=

17

2

，
當x=

1

3

時，y=2×（

1

3

+3）=

20

3

，
當x=

1

2

時，y=2×（

1

2

+2）=5，
當x=1時，y=2×（1+1）=4，
當x=2時，y=2×（2+

1

2

）=5，
當x=3時，y=2×（3+

1

3

）=

20

3

，
當x=4時，y=2×（4+

1

4

）=

17

2

．
函數圖象如右圖：

（2）由（1）的計算結果和函數圖象知：當x=1時，y=2（x+

1

x

）有最小值，且最小值為4．

（3）證明：∵x＞0，且x=（

x

）²，
∴y=2（x+

1

x

）=2[（

x

）²-2+（

1

x

）²]+4=2（

x

-

1

x

）²+4；
∴當

x

=

1

x

，即x=1時，函數y=2（x+

1

x

）有最小值，且最小值為4．

點評：此題主要考查的是利用配方法求函數最小（大）值的方法；通過給出的材料，以常見的二次函數作為樣例，提出了較復雜函數最值的解法，充分理解閱讀部分的含義是解題的關鍵．