Question

10、在平面直角坐標(biāo)系中，直線l過點M（3，0），且平行于y軸．
（1）如果△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，2），△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形是△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁關(guān)于直線l的對稱圖形是△A₂B₂C₂，寫出△A₂B₂C₂的三個頂點的坐標(biāo)；
（2）如果點P的坐標(biāo)是（-a，0），其中a＞0，點P關(guān)于y軸的對稱點是P₁，點P₁關(guān)于直線l的對稱點是P₂，求PP₂的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)特點是橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同可以得到△A₁B₁C₁各點坐標(biāo)，又關(guān)于直線l的對稱圖形電的坐標(biāo)特點是縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)之和等于3的二倍，由此求出△A₂B₂C₁的三個頂點的坐標(biāo)；
（2）如圖，如果0＜a≤3，那么點P₁在線段OM上．PP₂=PP₁+P₁P₂=2OP₁+2P₁M=2（OP₁+P₁M）=2OM=6．如果a＞3，那么點P₁在點M的右邊．PP₂=PP₁-P₁P₂=2OP₁-2P₁M=2（OP₁-P₁M）=2OM=6．所以PP₂的長是6．

解答：
解：（1）△A₂B₂C₂的三個頂點的坐標(biāo)分別是A₂（4，0），B₂（5，0），C₂（5，2）；（3分）

（2）如果0＜a≤3，那么點P₁在線段OM上，PP₂=PP₁+P₁P₂=2OP₁+2P₁M=2（OP₁+P₁M）=2OM=6；（5分）
如果a＞3，那么點P₁在點M的右邊，PP₂=PP₁-P₁P₂=2OP₁-2P₁M=2（OP₁-P₁M）=2OM=6．
所以PP₂的長是6．（7分）

點評：動手操作既是數(shù)學(xué)活動的一種形式，也是考查學(xué)生對概念理解與操作技能掌握情況的一種有效方式．本題設(shè)置了軸對稱變化和點的坐標(biāo)變化的有關(guān)問題，對于考查目標(biāo)的實現(xiàn)具有很好的作用．題目的背景清晰、明快，設(shè)計自然、合理，尤其是第（2）小題設(shè)置的問題既具有一定的開放性又重點考查了分類的數(shù)學(xué)思想，使試題的考查有較高的效度．發(fā)揮了試題的整體效應(yīng)：概念理解與操作技能掌握情況．本題一個考查學(xué)生“軸對稱”與坐標(biāo)的相關(guān)知識的試題，學(xué)生可以根據(jù)自己的理解選擇自由發(fā)揮的空間，問題的解決為學(xué)生提供了自主探索的空間，考查了學(xué)生關(guān)于變換與坐標(biāo)知識的綜合運(yùn)用能力．其解決的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧美，體現(xiàn)了對學(xué)生“操作--發(fā)現(xiàn)--猜想”的能力的考查，注意了題目的可推廣性，由學(xué)生解答本題的情況可以推及學(xué)生具有這些特質(zhì)的情形．