Question

【題目】如圖，CD是經過∠BCA頂點C的一條直線，CA=CB．E，F分別是直線CD上兩點，且∠BEC=∠CFA=∠a．

（1）若直線CD經過∠BCA的內部，且E，F在射線CD上，請解決下面兩個問題：
①如圖l，若∠BCA=90°，∠a=90°，則BECF；EF|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如圖（2），若0°＜∠BCA＜180°，請添加一個關于∠α與∠BCA關系的條件 ， 使①中的兩個結論仍然成立，并證明兩個結論成立．
（2）如圖，若直線CD經過∠BCA的外部，∠α=∠BCA，請提出EF，BE，AF三條線段數量關系的合理猜想（不要求證明）．

Answer 1

【答案】
（1）=；=；∠α+∠BCA=180°
（2）

解：EF=BE+AF．

理由是：如圖3中，

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，

又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，

∴∠EBC=∠ACF，

在△BEC和△CFA中，

，

∴△BEC≌△CFA（AAS），

∴AF=CE，BE=CF，

∵EF=CE+CF，

∴EF=BE+AF

【解析】解：（1）①如圖1中，

E點在F點的左側，
∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BEC=∠AFC=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF，
當E在F的右側時，同理可證EF=AF﹣BE，
∴EF=|BE﹣AF|；
所以答案是=，=．
②∠α+∠ACB=180°時，①中兩個結論仍然成立；
證明：如圖2中，

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF，
當E在F的右側時，同理可證EF=AF﹣BE，
∴EF=|BE﹣AF|；
所以答案是∠α+∠ACB=180°．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解全等三角形的性質的相關知識，掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等．