Question

【題目】閱讀理解，并回答問題：

若x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的兩個實數根，則有ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．即ax2+bx+c＝ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2，于是b＝﹣a（x1+x2），c＝ax1x2．由此可得一元二次方程的根與系數關系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．這就是我們眾所周知的韋達定理．

（1）已知m，n是方程x2﹣x﹣100＝0的兩個實數根，不解方程求m2+n2的值；

（2）若x1，x2，x3，是關于x的方程x（x﹣2）2＝t的三個實數根，且x1＜x2＜x3；

①x1x2+x2x3+x3x1的值；②求x3﹣x1的最大值．

Answer 1

【答案】（1）201；（2）①4，②

【解析】

（1）由根與系數的關系先得出m+n＝1，mn＝﹣100，再利用完全平方公式的變形可得答案；

（2）①由題意得：x（x﹣2）2﹣t＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），將等式兩邊分別整理，再比較對應項的系數可得答案；

②先由①得出的結論求得x1+x3＝4﹣x2，x3x1＝4﹣（x1+x3）x2，然后由＝﹣4x3x1及配方法得出的最大值，再開平方，求其算術平方根即可．

解：（1）∵m，n是方程x2﹣x﹣100＝0的兩個實數根

∴m+n＝1，mn＝﹣100

∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn

＝12﹣2×（﹣100）

＝201；

（2）①由題意得：x（x﹣2）2﹣t＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）

∴x3﹣4x2+4x﹣t＝x3﹣（x1+x2+x3）x2+（x1x2+x2x3+x3x1）x﹣x1x2x3

∴x1+x2+x3＝4，x1x2+x2x3+x3x1＝4，x1x2x3＝t

∴x1x2+x2x3+x3x1的值為4；

②∵x1+x2+x3＝4

∴x1+x3＝4﹣x2

∵x1x2+x2x3+x3x1＝4

∴x3x1＝4﹣（x1+x3）x2

∵＝﹣4x3x1

∴＝﹣4[4﹣（x1+x3）x2]

＝﹣3+8x2

＝﹣3≤

∴當x2＝時，x3﹣x1的最大值為：＝．

∴x3﹣x1的最大值為．