Question

【題目】對于平面直角坐標系中的任意兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），我們把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2兩點間的直角距離，記作d（P1，P2）．

（1）已知O為坐標原點，動點P（x，y）滿足d（O，P）=1，請寫出x與y之間滿足的關系式，并在所給的直角坐標系中畫出所有符合條件的點P所組成的圖形；

（2）設P0（x0，y0）是一定點，Q（x，y）是直線y=ax+b上的動點，我們把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離．試求點M（2，1）到直線y=x+2的直角距離．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)3.

【解析】

（1）根據(jù)新的運算規(guī)則知|x|＋|y|＝1，據(jù)此可以畫出符合題意的圖形；

（2）根據(jù)新的運算規(guī)則知d（M，Q）＝|x2|＋|y1|＝|x2|＋|x＋21|＝|x2|＋|x＋1|，然后由絕對值與數(shù)軸的關系可知，|x2|＋|x＋1|表示數(shù)軸上實數(shù)x所對應的點到數(shù)2和1所對應的點的距離之和，其最小值為3．

（1）由題意，得|x|+|y|=1，

∵d（O，P）=1，O（0，0），P（x，y）

∴d（0，P）=|x|+|y|

∴|x|+|y|=1

①x≥0，y≥0，

∴x+y=1，

y=1﹣x；

②x≤0，y≤0，

∴﹣x﹣y=1，

y=﹣x﹣1；

③x≥0，y≤0，

∴x﹣y=1，

y=x﹣1；

④x≤0，y≥0，

∴﹣x+y=1，

y=1+x.

將四個函數(shù)關系式表示在數(shù)軸上，所有符合條件的點P組成的圖形如圖所示：

（2）∵d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，

又∵x可取一切實數(shù)，|x﹣2|+|x+1|表示數(shù)軸上實數(shù)x所對應的點到數(shù)2和﹣1所對應的點的距離之和，其最小值為3．

∴點M（2，1）到直線y=x+2的直角距離為3．