Question

【題目】已知：平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．

（1）如圖①，EF過點O且與AB，CD分別相交于點E、F，AC=6，△AEO的周長為10，求CF+OF的值．

（2）如圖②，將平行四邊形ABCD（紙片）沿過對角線交點O的直線EF折疊，點A落在A1處，點B落在點B1處，設FB1交CD于點G，A1B1分別交CD、DE于點H、P，請在折疊后的圖形中找一條線段，使它與EP相等，并加以證明．

（3）如圖③，△ABO是等邊三角形，AB=1，點E在BC邊上，且BE=1，則2EC-2EO= 直接填結果．

Answer 1

【答案】（1）7；（2）FG=EP．理由見解析；（3）．

【解析】

（1）只要證明△AOE≌△COF即可解決問題；

（2）結論：FG=EP．只要證明△A1PE≌△CGF即可；

（3）作OH⊥BC，解直角三角形求出EC、OE，即可解決問題.

（1）如圖①中，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，AB∥CD，

∴∠EAO=∠FCO，

∵∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF，AE=CF，

∴CF+OF=AE+OE=△AOE的周長-OA=7．

（2）結論：FG=EP．

理由：如圖②中，連AC，

由（1）可知：△AOE≌△COF，

∴AE=CF，

由折疊可知，AE=A1E=CF，∠A1=∠A=∠BCD，

∵∠A1PE=∠DPH，∠D=∠B1，∠PHD=∠B1HG，

∴∠DPH=∠B1GH，

∵∠B1GH=∠CGF，

∴∠A1PE=∠CGF，

∴△A1PE≌△CGF，

∴FG=EP．

（3）如圖③中，作OH⊥BC于H．

∵△AOB是等邊三角形，

∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，

∵∠ABC=90°，

∴∠OBC=30°，

∵AB=OB=BE=1，

∴BC=，EC=-1，

∵OB=OC，OH⊥BC，

∴BH=CH=，

∴HE=1-，OH=OH=，

∴，

∴2EC-2EO=．

故答案為．