Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，圓D與y軸相切于點C(0，4)，與x軸相交于A、B兩點，且AB＝6.

(1)求D點的坐標和圓D的半徑；

(2)求sin ∠ACB的值和經過C、A、B三點的拋物線對應的函數表達式；

(3)設拋物線的頂點為F，證明直線AF與圓D相切．

Answer 1

【答案】（1）點D的坐標為(5，4)，圓的半徑為5；（2）sin∠ACB＝，y＝x2－x＋4；（3）詳見解析.

【解析】

（1）連接CD，過點D作DE⊥AB，垂足為E，連接AD．依據垂徑定理可知AE=3，然后依據切線的性質可知CD⊥y軸，然后可證明四邊形OCDE為矩形，則DE=4，然后依據勾股定理可求得AD的長，故此可求得⊙D的半徑和點D的坐標；

（2）先求得A（2，0）、B（8，0）．設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）（x﹣8），將點C的坐標代入可求得a的值．根據三角形面積公式得：S△ABC=BC×ACsin∠ACB=AB×CO，代入計算即可；

（3）求得拋物線的頂點F的坐標，然后求得DF和AF的長，依據勾股定理的逆定理可證明△DAF為直角三角形，則∠DAF=90°，故此AF是⊙D的切線．

（1）連接CD，過點D作DE⊥AB，垂足為E，連接AD．

∵DE⊥AB，∴AEAB=3．

∵⊙D與y軸相切，∴DC⊥y軸．

∵∠COE=∠OED=∠OCD=90°，∴四邊形OCDE為矩形，∴OC=DE．

∵C（0，4），∴DE=4．

在Rt△AED中，AD5，∴⊙D的半徑為5，∴D（5，4）．

故答案為：（5，4），5．

（2）如圖1所示：

∵D（5，4），∴E（5，0），∴A（2，0）、B（8，0）．

設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）（x﹣8），將點C的坐標代入得：16a=4，解得：a，∴拋物線的解析式為yx2x+4．

∵S△ABC=BC×ACsin∠ACB=AB×CO，∴sin∠ACB==．

（3）連接DF，如圖2．

∵yx2x+4=，∴拋物線的頂點坐標F（5，），∴DF=4，AF．

又∵AD=5，∴AD2+AF2=DF2，∴△DAF為直角三角形，∴∠DAF=90°，∴AF是⊙D的切線．