Question

【題目】如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點，動點P、Q同時從點B出發，點P以1cm/秒的速度沿折線BE﹣ED﹣DC運動到點C時停止，點Q以2cm/秒的速度沿BC運動到點C時停止．設P、Q同時出發t秒時，△BPQ的面積為ycm2 ． 已知y與t的函數關系圖像如圖（2）（其中曲線OG為拋物線的一部分，其余各部分均為線段）．

（1）試根據圖（2）求0＜t≤5時，△BPQ的面積y關于t的函數解析式；
（2）求出線段BC、BE、ED的長度；
（3）當t為多少秒時，以B、P、Q為頂點的三角形和△ABE相似；
（4）如圖（3）過E作EF⊥BC于F，△BEF繞點B按順時針方向旋轉一定角度，如果△BEF中E、F的對應點H、I恰好和射線BE、CD的交點G在一條直線，求此時C、I兩點之間的距離．

Answer 1

【答案】
（1）

解：觀察圖像可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6

在Rt△ABE中，AB= = =8，

如圖1中，作PM⊥BC于M．

∵△ABE∽△MPB，

∴ ，

∴ = ，

∴PM= t，

當0＜t≤5時，△BPQ的面積y= BQPM= 2t t= t2

（2）

解：由（1）可知BC=BE=10，ED=4

（3）

解：①當P在BE上時，

∵BQ=2PB，

∴只有∠BPQ=90°，才有可能B、P、Q為頂點的三角形和△ABE相似，

∴∠BQP=30°，這個顯然不可能，

∴當點P在BE上時，不存在△PQB與△ABE相似．

②當點P在ED上時，觀察圖像可知，不存在△．

③當點P在DC上時，設PC=a，

當 時，∴ = ，

∴a= ，

此時t=10+4+（8﹣ ）=14.5，

∴t=14.5s時，△PQB與△ABE相似

（4）

解：如圖3中，設EG=m，GH=n，

∵DE∥BC，

∴ ，

∴ = ，

∴m= ，

在Rt△BIG中，∵BG2=BI2+GI2，

∴（ ）2=62+（8+n）2，

∴n=﹣8+8 或﹣8﹣8 （舍棄），

∵∠BIH=∠BCG=90°，

∴B、I、C、G四點共圓，

∴∠BGH=∠BCI，

∵∠GBF=∠HBI，

∴∠GBH=∠CBI，

∴△GBH∽△CBI，

∴ ，

∴ = ，

∴IC= ﹣

【解析】（1）觀察圖像可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB= = =8，如圖1中，作PM⊥BC于M．由△ABE∽△MPB，得 ，求出PM，根據△BPQ的面積y= BQPM計算即可問題．（2）觀察圖像（1）（2），即可解決問題．（3）分三種情形討論①P在BE上，②P在DE上，③P在CD上，分別求解即可．（4）由∠BIH=∠BCG=90°，推出B、I、C、G四點共圓，推出∠BGH=∠BCI，由△GBH∽△CBI，可得 ，由此只要求出GH即可解決問題．
【考點精析】利用相似三角形的性質和相似三角形的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形；相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）．