Question

【題目】（Ⅰ）如圖1，在等邊中，點是上的任意一點（不含端點, ），連結，以為邊作等邊，并連結．求證： ．

（Ⅱ）【類比探究】

如圖2，在等邊中，若點是延長線上的任意一點（不含端點），其它條件不變，則是否還成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出, , 三者間的數量關系，并給予證明．

（Ⅲ）【拓展延伸】

如圖3，在等腰中， ，點是上的任意一點（不含端點），連結，以為邊作等腰，使，試探究與的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）結論不成立（Ⅲ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）通過證明 ≌，根據全等三角形的性質可得 ，從而證得；

（Ⅱ）結論不成立，通過證明 ≌，根據全等三角形的性質可得，由，得 ；

（Ⅲ），設，由為的外角，可得，從而可得 ，又為的外角，可得 ，從而有，繼而推得 .

試題解析：（Ⅰ）∵， 都是等邊三角形，

∴， ， ，

∴ 即，

在和中， ，

≌ ，

∴ ，

∴；

（Ⅱ）結論不成立，

理由： ， 都是等邊三角形，

∴， ， ，

∴ 即 ，

在和中， ，

≌ ，

∴，

∴，即 ；

（Ⅲ），理由：

設，

∵，∴，

∵為的外角，

∴，

又，∴，

∴ ，

又為的外角，

∴ ，

∴，

∴，即 .