Question

如圖，已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，它關(guān)于y軸對(duì)稱的雙曲線為.
（1）求雙曲線與的解析式；
（2）若平行于軸的直線交雙曲線于點(diǎn)A，交雙曲線于點(diǎn)B，在軸上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，B，O，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）， ；
（2）滿足要求的點(diǎn)P有兩個(gè)：或．

試題分析：（1）根據(jù)M點(diǎn)的坐標(biāo)求出的解析式，根據(jù)對(duì)稱性求出的解析式；
（2）設(shè)出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)四邊形OPAB是菱形，得到是等邊三角形，求出AB，再利用勾股定理求出OE，OE等于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，聯(lián)立方程，從而求出P的坐標(biāo)．
試題解析：（1）在雙曲線上，
，，
雙曲線與關(guān)于軸對(duì)稱，
 ；
（2）雙曲線與關(guān)于軸對(duì)稱
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，有OA=OB. 
設(shè)，則，AB=2m，

∵四邊形OPAB是菱形，則OB=AB，
， 是等邊三角形.
 ，  ，
， .
， ， ，
同理，當(dāng)四邊形OABP是菱形時(shí)，
綜上所述，滿足要求的點(diǎn)P有兩個(gè)：或．