Question

【題目】如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD丄PA，垂足為D．

（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠CAO，

∴∠DAC=∠OCA，

∴PB∥OC，

∵CD⊥PA，

∴CD⊥OC，CO為⊙O半徑，

∴CD為⊙O的切線

（2）解：過O作OF⊥AB，垂足為F，

∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，

∴四邊形DCOF為矩形，

∴OC=FD，OF=CD．

∵DC+DA=6，

設AD=x，則OF=CD=6﹣x，

∵⊙O的直徑為10，

∴DF=OC=5，

∴AF=5﹣x，

在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．

即（5﹣x）2+（6﹣x）2=25，

化簡得x2﹣11x+18=0，

解得x1=2，x2=9．

∵CD=6﹣x大于0，故x=9舍去，

∴x=2，

從而AD=2，AF=5﹣2=3，

∵OF⊥AB，由垂徑定理知，F為AB的中點，

∴AB=2AF=6．

【解析】（1）連接OC，根據題意可證得∠CAD+∠DCA=90°，再根據角平分線的性質，得∠DCO=90°，則CD為⊙O的切線；（2）過O作OF⊥AB，則∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四邊形OCDF為矩形，設AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5﹣x）2+（6﹣x）2=25，從而求得x的值，由勾股定理得出AB的長．
【考點精析】利用勾股定理的概念和垂徑定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．