Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+3與x軸相交于點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸相交于點C，點P為線段OB上的動點（不與O、B重合），過點P垂直于x軸的直線與拋物線及線段BC分別交于點E、F，點D在y軸正半軸上，OD=2，連接DE、OF．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當四邊形ODEF是平行四邊形時，求點P的坐標；
（3）過點A的直線將（2）中的平行四邊形ODEF分成面積相等的兩部分，求這條直線的解析式．（不必說明平分平行四邊形面積的理由）

Answer 1

解：（1）∵點A（﹣1，0）、B（3，0）在拋物線y=ax²+bx+3上，
∴，解得。
∴拋物線的解析式為：y=﹣x²+2x+3。
（2）在拋物線解析式y=﹣x²+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）。
設直線BC的解析式為y=kx+b，
將B（3，0），C（0，3）坐標代入得：，解得。
∴直線BC的解析式為y=﹣x+3。
設E點坐標為（x，﹣x²+2x+3），則P（x，0），F（x，﹣x+3）。
∴EF=y_E﹣y_F=﹣x²+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x²+3x。
∵四邊形ODEF是平行四邊形，∴EF=OD=2。
∴﹣x²+3x=2，即x²﹣3x+2=0，解得x=1或x=2。
∴P點坐標為（1，0）或（2，0）。
（3）平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心為兩條對角線的交點（或對角線的中點），過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過點A與ODEF對稱中心的直線平分ODEF的面積。

①當P（1，0）時，點F坐標為（1，2），
又D（0，2），
設對角線DF的中點為G，則G（，2）。
設直線AG的解析式為y=k₁x+b₁，
將A（﹣1，0），G（，2）坐標代入得：，解得。
∴所求直線的解析式為：。
②當P（2，0）時，點F坐標為（2，1），又D（0，2）。
設對角線DF的中點為G，則G（1，）。
設直線AG的解析式為y=k₂x+b₂，
將A（﹣1，0），G（1，）坐標代入得：，解得。
∴所求直線的解析式為。
綜上所述，所求直線的解析式為或。

解析試題分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式。
（2）平行四邊形的對邊相等，因此EF=OD=2，據此列方程求出點P的坐標。
（3）利用中心對稱的性質求解：平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心為兩條對角線的交點（或對角線的中點），過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過點A與ODEF對稱中心的直線平分ODEF的面積。