Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，G是邊AB的中點，平行于AB的動直線l分別交△ABC的邊CA、CB于點M、N，設CM＝m.

（1）當m＝1時，求△MNG的面積；

（2）若點G關于直線l的對稱點為點G′，請求出點G′ 恰好落在△ABC的內部（不含邊界）時，m的取值范圍；

（3）△MNG是否可能為直角三角形？如果能，請求出所有符合條件的m的值；如果不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）＜m＜4；（3）能，m＝2或

【解析】分析：（1）由l//AB可證△CMN∽△CAB利用相似的性質即可求出△MNG的邊MN及MN邊上的高，利用三角形的面積公式即可得出答案；

（2）根據點G關于直線l的對稱點G′分別落在AB邊、AC邊時的m值，即可求出m的取值范圍；

（3）分三種情況討論（△MNG的三個內角分別為90°），即可得出答案.

詳解：（1）當m＝1時，S△MNG＝＝．

（2）當點G關于直線l的對稱點G′落在AB邊時，m＝4，

當點G關于直線l的對稱點G′落在AC邊時，點M是AG′的中點，

由△AGG′∽△ACB，

可求AG′＝，

∴CM＝m＝4－＝，

∴點G′恰好落在△ABC的內部（不含邊界）時，＜m＜4，

（3）△MNG能為直角三角形，

①當∠MGN＝90°時，

證得四邊形CMGN為矩形，

∴M是AC的中點，

∴m＝2，

②當∠GMN＝90°時，

＝，

m＝，

③當∠GNM＝90°時，＝，

m＝－（不合題意，舍去），

∴m＝2或m＝時，△MNG是直角三角形.