Question

（2001•廣州）如圖，已知直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點C，∠A=28°．
（1）求∠ACM的度數；
（2）在MN上是否存在一點D，使AB•CD=AC•BC，為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）求∠ACM的度數，需求出∠B的度數；在Rt△ABC中，已知∠A的度數，即可求出∠B、∠ACM的度數；
（2）乘積的形式通常可以轉化為比例的形式：
①，此時需證Rt△ABC∽Rt△CBD，那么過B作MN的垂線，那么垂足即為符合條件的D點；
②，此時需證Rt△ABC∽Rt△ACD，則過A作MN的垂線，垂足也符合D點的條件．
兩者的證明過程一致，都是通過弦切角得出一組對應角相等，再加上一組直角得出三角形相似．
解答：解：（1）∵AB是半圓的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠A=62°，
∵直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點C，
∴∠ACM=∠B=62°；

（2）存在符合條件的點D，使AB•CD=AC•BC，
①過A作AD⊥MN于D，則AB•CD=AC•BC，
證明：∵MN是半圓的切線，且切點為C，
∴∠ACD=∠B，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
即AB•CD=AC•BC；
②過B作BD⊥MN于D，則AB•CD=AC•BC，
證明過程同①，
因此MN上存在至少一點D，使AB•CD=AC•BC．
點評：本題考查了弦切角定理及相似三角形的判定和性質，要求學生能夠熟練掌握相似的判斷和性質并應用．