Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為C（2，﹣1），與x軸交于A，B兩點，OA=3；

（1）求此拋物線的解析式；

（2）如圖1，一次函數y＝﹣x+3圖象交x軸于點A，交y軸于點D，連結AC、BD，在x軸上有一點Q，使△AQC 與△ABD相似，求出點Q坐標；

（3）如圖2，在直線y＝kx -1(k＞0）上是否存在唯一一點P，使得∠APB＝90°？若存在，請直接寫出此時k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）Q點的坐標為（0，0）或（，0）；（3）存在，k=1，k=，k=．

【解析】

（1）由頂點坐標為C（2，﹣1）可得對稱軸為x=2，然后再根據二次函數圖像的對稱性，確定A、B的坐標，然后使用待定系數法即可解答；

（2）先通過等腰三角形和相似三角形的性質得到∠CAQ＝∠DAB＝45°，然后分＝和＝兩種情況解答即可；

（3）設P點坐標為（a，ka-1），以AB的中點O為圓心作⊙O，以AB為直徑畫圓恰好與直線y＝kx-1(k＞0）相切與P點，然后確定圓的半徑長度，然后運用兩點間距離公式列方程，最后根據條件即可確定k的取值．

解（1）∵函數圖像的頂點坐標為C（2，﹣1）

∴對稱軸為x=2

∵OA=3

∴B點的橫坐標為:2-(3-2)=1,A點的橫坐標為3

∴A(3,0),B(1,0)

∴解得

∴函數解析式為y＝x2﹣4x+3；

（2）如圖：連接AC、QC、BD,

令x=0,則y＝﹣0+3=3，即點D坐標為（0,3）

∴OA=OD

∴∠DAB＝45°

要使△AQC∽△ADB，則∠CAQ＝∠DAB＝45°，

①當＝時，△AQC∽△ADB，即＝，解得AQ＝3，此時Q（0，0）；

②當＝時，△AQC∽△ABD，即＝，解得AQ＝，此時Q（，0）；

綜上所述，Q點的坐標為（0，0）或（，0）；

（3）連接設P點坐標為（a，ka-1），以AB的中點O為圓心作⊙O，以AB為直徑畫圓恰好與直線y＝kx-1(k＞0）相切與P點，即AP⊥BP

∵A(3,0),B(1,0)

∴AO=BO=AB=1

∴即：（k-1）a2-（2k+2）a+1=0

∵在直線y＝kx-1(k＞0）上是否存在唯一一點P，使得∠APB＝90°

∴①當（k-1）a2-（2k+2）a+1=0為關于a的一元一次方程時，則k-1=1，即k=1；

②①當（k-1）a2-（2k+2）a+1=0為關于a的一元二次方程時，則：

（2k+2）2-4（k-1）=0解得：k=，k=；

綜上，存在滿足題意得k且取值為k=1，k=，k=．