Question

【題目】如圖，的頂點A（0,3），B（b，0），C（c，0）在x軸上，若。

（1）請判斷的形狀并予以證明；

（2）如圖，過AB上一點D作射線交y軸負半軸與點E，連CD交y軸與F點。若BD=FD，求度數。

（3）在（2）的條件下，，H是AB延長線上一動點，作，HG交射線DE于點G點，則的值是否變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出該值。

Answer 1

【答案】（1）△ABC為等腰直角三角形，理由見解析；（2）15°；（2）2.

【解析】

（1）結論：△ABC是等腰直角三角形．通過計算出B、C的坐標，結合A的坐標可證明△AOB和△AOC都是等腰直角三角形，繼而可證△ABC是等腰直角三角形；

（2）連接BF，分別根據DB=DF， FB=FC可證明∠DBF=∠DFB，∠FBC=∠BCD.根據∠DFB=∠FBC+∠BCD，可設∠FBC=∠BCD=x，利用方程思想求得度數.

（3）結論：的值是定值，定值為2．連接CG．在DG上截取DK，使得DK=DH．只要證明DG=DH+CD，CD=2AD即可解決問題.

（1）結論：△ABC是等腰直角三角形.

理由：

∵，

∴b=-3，c=3

∴B（-3，0），C（3，0）

∵A（0，3）

∴OB=OC=OA，

∵AO⊥BC

∴AB=AC，△AOB和△AOC都是等腰直角三角形

∴∠BAO=∠OBA=∠OAC=∠OCA=45°

∴∠BAC=90°

∴△ABC是等腰直角三角形.

（2）證明：如圖，連接BF，BE.

∵DB=DF，

∴∠DBF=∠DFB，

∴OA垂直平分線段BC，

∴FB=FC，

∴∠FBC=∠BCD，設∠FBC=∠BCD=x，

∴∠DFB=∠FBC+∠BCD=2x，

∴∠DBF=2x，

∵∠DBF+∠FBC=∠ABO

∴3x=45°，

∴x=15°，

∴∠BCD=15°

（3）結論：的值是定值，定值為2.

理由：如圖2中，連接CG.在DG上截取DK，使得DK=DH.

∵

∴∠AFD=∠OFC=90°-∠BCD=90°-15°=75°

∴∠CDG=∠AFD-∠DEF=75°-15°=60°.

在△BCD中，∠ABC+∠BCD+∠BDC=180°

∴∠BDC=180°-∠ABC-∠BCD=180°-45°-15°=120°

∴∠CDG=∠GDH=60°

∵∠CHG=60°，

∴∠CDG=∠CHG，

∴C，D，H，G四點共圓，

∴∠HCG=∠GDH=60°，

∴△HCG是等邊三角形，

∵DH=DK,∠HDK=60°，

∴△HDK是等邊三角形，

∵∠DHK=∠CHG=60°，

∴∠DHC=∠KHG，

∵DH=DK，HC=HG，

∴△DHC≌△KHG(SAS)，

∴CD=KG，

∴DG=DK+KG，

∵DK=DH，KG=CD，

∴DG=DH+CD，

∴DGDH=CD，

在Rt△ADC中,∵∠ACD=∠ACB-∠BCD=30°，

∴CD=2AD，

∴DGDH=2AD，

∴.