Question

【題目】如圖，在ABC中，AB＝BC，以BC為直徑的⊙O交AC于點D，過點D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E、F，

①求證：ED是⊙O的切線；

②求證：DE2＝BFAE；

③若DF＝3，cosA＝，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）根據圓周角定理由BC為⊙O的直徑得到∠BDC=90°，再根據等腰三角形的性質得AD=CD，即D點為AC的中點，則可判斷OD為△ABC的中位線，所以OD∥AB，而DE⊥AB，則DE⊥OD，然后根據切線的判定定理即可得到DE是⊙O的切線；

（2）根據等腰三角形的性質得BD平分∠ABC，則利用角平分線性質得DE=DF，再證明Rt△AED∽Rt△DFB，根據相似的性質得DE：BF=AE：DF，用DE代換DF根據比例的性質即可得到DE2=BFAE；

（3）由于∠A=∠C，則cosA=cosC=，在Rt△CDF中，利用余弦的定義得cosC=，設CF=2x，則DC=3x，根據勾股定理計算得DF=x，所以x=3，解得x=3，于是得到DC=9，在Rt△CBD中根據余弦的定義可計算出BC．

（1）證明：∵BC為⊙O的直徑，

∴∠BDC＝90°，即BD⊥AC，

∵BA＝BC，

∴AD＝CD，即D點為AC的中點，

∵點O為BC的中點，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥AB，

而DE⊥AB，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切線；

（2）證明：連接BD、OD,

∵BA＝BC，BD⊥AC，

∴BD平分∠ABC，

∴DE＝DF，

∵∠ADE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠BDO＝90°，

∴∠ADE＝∠BDO，

而OB＝OD，

∴∠BDO＝∠OBD，

∴∠ADE＝∠OBD，

∴Rt△AED∽Rt△DFB，

∴DE：BF＝AE：DF，

∴DE：BF＝AE：DE，

∴DE2＝BFAE；

（3）解：∵∠A＝∠C，

∴cosA＝cosC＝，

在Rt△CDF中，cosC＝，

設CF＝2x，則DC＝3x，

∴DF＝x，

而DF＝3，

∴x＝3，解得x＝3，

∴DC＝9，

在Rt△CBD中，cosC＝，

∴BC＝×9＝，

即⊙O的直徑為．