Question

【題目】我們規定：平面內點A到圖形G上各個點的距離的最小值稱為該點到這個圖形的最小距離d，點A到圖形G上各個點的距離的最大值稱為該點到這個圖形的最大距離D，定義點A到圖形G的距離跨度為R=D﹣d．
（1）①如圖1，在平面直角坐標系xOy中，圖形G1為以O為圓心，2為半徑的圓，直接寫出以下各點到圖形G1的距離跨度：
A（﹣1，0）的距離跨度；
B（ ，﹣ ）的距離跨度；
C（﹣3，2）的距離跨度；
②根據①中的結果，猜想到圖形G1的距離跨度為2的所有的點組成的圖形的形狀是 ．

（2）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，圖形G2為以C（1，0）為圓心，2為半徑的圓，直線y=k（x+1）上存在到G2的距離跨度為2的點，求k的取值范圍．

（3）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，射線OA：y= x（x≥0），圓C是以3為半徑的圓，且圓心C在x軸上運動，若射線OA上存在點到圓C的距離跨度為2，直接寫出圓心C的橫坐標xc的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）1；3；2；圓
（2）解：設直線y=k（x+1）上存在到G2的距離跨度為2的點P（m，k（m+1）），

∴OP= ，

由（1）②知，圓內一點到圖形圓的跨度是此點到圓心距離的2倍，圓外一點到圖形圓的跨度是此圓的直徑，

∵圖形G2為以C（1，0）為圓心，2為半徑的圓，到G2的距離跨度為2的點，

∴距離跨度小于圖形G2的圓的直徑4，

∴點P在圖形G2⊙C內部，

∴R=2OP=2 ，

∵直線y=k（x+1）上存在到G2的距離跨度為2的點P，

∴2 =2，

∴（k2+1）m2+2（k2﹣1）m+k2=0①，

∵存在點P，

∴方程①有實數根，

∴△=4（k2﹣1）2﹣4×（k2+1）k2=﹣9k2+4≥0，

∴﹣

（3）解：同（2）的方法得出，射線OA上存在點P到圓C的距離跨度為2時，點P在圓內，

設點P（n， n），（n＞0），

∵圓心C（x2，0），∴PC= = ×2=1，

∴ n2﹣2x2n+x22﹣1=0，

∴射線OA上存在點到圓C的距離跨度為2，

∴ ，

∴1≤x2≤2

【解析】解：（1）如圖1，

①∵圖形G1為以O為圓心，2為半徑的圓，∴直徑為4，
∵A（﹣1，0），OA=1，
∴點A到⊙O的最小距離d=MA=OM﹣OA=1，
點A到⊙O的最大距離D=AN=ON+OM=2+1=3，
∴點A到圖形G1的距離跨度R=D﹣d=3﹣1=2；
∵B（ ，﹣ ），∴OB= =1，
∴點B到⊙O的最小距離d=BG=OG﹣OB=1，
點B到⊙O的最大距離D=BF=FO+OB=2+1=3，
∴點B到圖形G1的距離跨度R=D﹣d=3﹣1=2；
∵C（﹣3，2），
∴OC= = ，
∴點C到⊙O的最小距離d=CD=OC﹣OD= ﹣2，
點C到⊙O的最大距離D=CE=OC+OE=2+
∴點C到圖形G1的距離跨度R=D﹣d=2+ ﹣（ ﹣2）=4；
∴圓，
理由：①設⊙O內一點P的坐標為（x，y），
∴OP= ，
∴點P到⊙O的最小距離d=2﹣OP，點P到⊙O的最大距離D=2+OP，
∴點P到圖形G1的距離跨度R=D﹣d=2+OP﹣（2﹣OP）=2OP；
∵圖形G1的距離跨度為2，
∴2OP=2，
∴OP=1，
∴ =1，
∴x2+y2=1，
即：到圖形G1的距離跨度為2的所有的點組成的圖形的形狀是以點O為圓心，1為半徑的圓．
②設⊙O外一點Q的坐標為（x，y），
∴OQ= ，
∴點Q到⊙O的最小距離d=OQ﹣2，點P到⊙O的最大距離D=OQ+2，
∴點P到圖形G1的距離跨度R=D﹣d=OQ+2﹣（OQ﹣2）=4；
∵圖形G1的距離跨度為2，
∴此種情況不存在，
所以，到圖形G1的距離跨度為2的所有的點組成的圖形的形狀是以點O為圓心，1為半徑的圓．
故答案為：圓；
（1）①先根據跨度的定義先確定出點到圓的最小距離d和最大距離D，即可得出跨度；②分點在圓內和圓外兩種情況同①的方法計算，判定得出結論；（2）先判斷出存在的點P必在圓O內，設出點P的坐標，利用點P到圓心O的距離的2倍是點P到圓的距離跨度，建立方程，由于存在距離跨度是2的點，此方程有解即可得出k的范圍．（3）同（2）方法判斷出存在的點P在圓C內部，由于在射線OA上存在距離跨度是2的點，同（2）的方法建立方程，用一元二次方程根與系數的關系和根的判別式即可確定出范圍．