Question

先閱讀，再填空解題：
（1）方程：x²-x-12=0的根是：x₁=-3，x₂=4，則x₁+x₂=1，x₁•x₂=-12；
（2）方程2x²-7x+3=0的根是：x₁=

 

，x₂=3，則x₁+x₂=

 

，x₁•x₂=

3

2

；
（3）方程x²-3x+1=0的根是：x₁=

 

，x₂=

 

．
則x₁+x₂=

 

，x₁•x₂=

 

；
根據以上（1）（2）（3）你能否猜出：
如果關于x的一元二次方程mx²+nx+p=0（m≠0且m、n、p為常數）的兩根為x₁、x₂，那么x₁+x₂、x₁、x₂與系數m、n、p有什么關系？請寫出來你的猜想并說明理由．

Answer 1

分析：觀察（1）可知是利用因式分解法解方程，常數項是兩根之積，一次項系數是兩根之和的相反數；
（2）這個方程與（1）的區別是二次項系數不是1，所得兩根的和是-

b

a

，兩根的積是

c

a

；
（3）直接利用（1）（2）中所得規律求解即可．

解答：解：（2）2x²-7x+3=0．
（2x-1）（x-3）=0．
∴x₁=

1

2

，x₂=3，則x₁+x₂=

7

2

，x₁•x₂=

3

2

．

（3）x²-3x+1=0．
（x-

3- 5

2

）（x-

3+ 5

2

）=0．
∴x₁=

3- 5

2

，x₂=

3+ 5

2

．
x₁+x₂=3，x₁x₂=1．
猜想：x₁+x₂=-

n

m

，x₁x₂=

p

m

．
∵一元二次方程mx²+nx+p=0（m≠0，且m，n，p為常數）的兩實數根是：
x₁=

-n+ n2-4mp

2m

，x₂=

-n- n2-4mp

2m

．
x₁+x₂=

-n+ n2-4mp

2m

+

-n- n2-4mp

2m

=-

n

m

．
x₁x₂=

-n+ n2-4mp

2m

•

-n- n2-4mp

2m

=

(-n)2-( n2-4mp )2

4m2

=

n2-(n2-4mp)

4m2

=

p

m

．

點評：本題考查一元二次方程根與系數的關系．根與系數的關系為：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．要求熟練運用此公式解題．