Question

如圖，點A是⊙O上一點，OA⊥AB，且OA=1，AB=，OB交⊙O于點D，作AC⊥OB，垂足為M，并交⊙O于點C，連接BC．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）過點B作BP⊥OB，交OA的延長線于點P，連接PD，求sin∠BPD的值．

Answer 1

(1)證明見解析；（2）.

試題分析：（1）連結OC，根據垂徑定理由AC⊥OB得AM=CM，于是可判斷OB為線段AC的垂直平分線，所以BA=BC，然后利用“SSS”證明△OAB≌△OCB，得到∠OAB=∠OCB，由于∠OAB=90°，則∠OCB=90°，于是可根據切線的判定定理得BC是⊙O的切線；
（2）在Rt△OAB中，根據勾股定理計算出OB=2，根據含30度的直角三角形三邊的關系得∠ABO=30°，∠AOB=60°，在Rt△PBO中，由∠BPO=30°得到PB=OB=2；在Rt△PBD中，BD=OB﹣OD=1，根據勾股定理計算出PD=，然后利用正弦的定義求sin∠BPD的值．
試題解析：（1）證明：連結OC，如圖，

∵AC⊥OB，
∴AM=CM，
∴OB為線段AC的垂直平分線，
∴BA=BC，
在△OAB和△OCB中
，
∴△OAB≌△OCB，
∴∠OAB=∠OCB，
∵OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∴∠OCB=90°，
∴OC⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：在Rt△OAB中，OA=1，AB=，
∴，
∴∠ABO=30°，∠AOB=60°，
∵PB⊥OB，
∴∠PBO=90°，
在Rt△PBO中，OB=2，∠BPO=30°，
∴PB=OB=2，
在Rt△PBD中，BD=OB﹣OD=2﹣1=1，PB=2，
∴，
∴sin∠BPD=．