Question

【題目】小明在學習過程中，對教材中的一個有趣問題做如下探究：

（習題回顧）已知：如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點F．求證：∠CFE=∠CEF；

（變式思考）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分線交CD的延長線于點F，其反向延長線與BC邊的延長線交于點E，則∠CFE與∠CEF還相等嗎？說明理由；

（探究廷伸）如圖3，在△ABC中，在AB上存在一點D，使得∠ACD=∠B，角平分線AE交CD于點F．△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點M．試判斷∠M與∠CFE的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】【習題回顧】證明見解析；【變式思考】∠CEF=∠CFE，理由見解析；【探究思考】∠M+∠CFE=90°，理由見解析.

【解析】

根據三角形的外角的性質證明；

【變式思考】

根據角平分線的定義、直角三角形的性質解答；

【探究廷伸】

同（1）、（2）的方法相同．

∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，∴∠B=∠ACD．

∵AE是角平分線，∴∠CAF=∠DAF．

∵∠CFE=∠CAF+∠ACD∠CEF=∠DAF+∠B，∴∠CEF=∠CFE；

　變式思考：∠CEF=∠CFE．證明如下：

∵AF為∠BAG的角平分線，∴∠GAF=∠DAF．

∵CD為AB邊上的高，∴∠ACB=90°，∴∠ADF=∠ACE=90°．

又∵∠CAE=∠GAF，∴∠CEF=∠CFE；

　探究思考：∠M+∠CFE=90°．證明如下：

∵C、A、G三點共線 AE、AN為角平分線，∴∠EAN=90°．

又∵∠GAN=∠CAM，∴∠MAE=90°，∴∠M+∠CEF=90°．

∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，∴∠CEF=∠CFE，∴∠M+∠CFE=90°．