Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），經過點A的直線l：y＝kx+b與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD＝4AC．

（1）直接寫出點A的坐標，并用含a的式子表示直線l的函數表達式（其中k、b用含a的式子表示）．

（2）點E為直線l下方拋物線上一點，當△ADE的面積的最大值為時，求拋物線的函數表達式；

（3）設點P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），y＝ax+a；（2）y＝x2﹣x﹣；（3）以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形，點P的坐標為（1，）或（1，4）．

【解析】

（1）由拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x軸交于兩點A、B，求得A點的坐標，作DF⊥x軸于F，根據平行線分線段成比例定理求得D的坐標，然后利用待定系數法即可求得直線l的函數表達式．

（2）設點E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，根據直線和拋物線解析式求得點D的橫坐標，由S△ADE＝S△AEH+S△DEH列出函數解析式，根據最值確定a的值即可；

（3）分以AD為矩形的對角線和以AD為矩形的邊兩種情況利用矩形的性質確定點P的坐標即可．

解：（1）令y＝0，則ax2﹣2ax﹣3a＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3

∵點A在點B的左側，

∴A（﹣1，0），

如圖1，作DF⊥x軸于F，

∴DF∥OC，

∴,

∵CD＝4AC，

∴

∵OA＝1，

∴OF＝4，

∴D點的橫坐標為4，

代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，

∴D（4，5a），

把A、D坐標代入y＝kx+b得

解得

∴直線l的函數表達式為y＝ax+a．

（2）如圖2，過點E作EH∥y軸，交直線l于點H，

設E（x，ax2﹣2ax﹣3a），則H（x，ax+a）．

∴HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，

由 得x＝﹣1或x＝4，

即點D的橫坐標為4，

∴S△ADE＝S△AEH+S△DEH＝（﹣ax2+3ax+4a）

∴△ADE的面積的最大值為a，

∴

解得：,

∴拋物線的函數表達式為y＝x2﹣x﹣

（3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）．

∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，

∴拋物線的對稱軸為x＝1，

設P（1，m），

①若AD為矩形的邊，且點Q在對稱軸左側時，則AD∥PQ，且AD＝PQ，

則Q（﹣4，21a），

m＝21a+5a＝26a，則P（1，26a），

∵四邊形ADPQ為矩形，

∴∠ADP＝90°，

∴AD2+PD2＝AP2，

∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，

即a2＝，

∵a＞0，

∴a＝，

∴P1（1，），

②若AD為矩形的邊，且點Q在對稱軸右側時，則AD∥PQ，且AD＝PQ，

則Q（4，5a），

此時點Q與點D重合，不符合題意，舍去；

③若AD是矩形的一條對角線，則AD與PQ互相平分且相等．

∴xD+xA＝xP+xQ，yD+yA＝yP+yQ，

∴xQ＝2，

∴Q（2，﹣3a）．

∴yP＝8a

∴P（1，8a）．

∵四邊形APDQ為矩形，

∴∠APD＝90°

∴AP2+PD2＝AD2

∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2

即a2＝，

∵a＞0，

∴a＝

∴P2（1，4）

綜上所述，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形，點P的坐標為（1，）或（1，4）．