Question

古人曾研究過所謂的“多邊形數”：即能用點排成多邊形（通常排成正多邊形）的陣列表示的數．在數學史上曾一度為不少專業和業余的數學家所青睞，人們認為這些奇妙的數一定有它特殊的性質，因為她們的確很具數學美．下圖所示是前5個三角形數．第1個三角形數是1，第2個三角形數是3，第3個三角形數是6…，依此規律回答以下三個問題：
（1）第6個三角形數是

21

；
（2）第n個三角形數是

n(n+1)

2

（用含n的式子表示，其中n表示正整數）；
（3）第2013個三角形數與2011個三角形數的差是

4025

．

Answer 1

分析：（1）根據“第1個三角形數是1，第2個三角形數是3，第3個三角形數是6…”找到規律，利用規律寫出第6個三角形數即可；
（2）根據上題得到的規律用通項公式表示出來即可；
（3）將數據代入求得兩個三角形數的差即可．

解答：解：（1）第1個三角形數是1，
第2個三角形數是1+2=3，
第3個三角形數是1+2+3=6，
…，
第6個三角形數是1+2+3+4+5+6=21，；

（2）第n個三角形數是1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

；

（3）第2013個三角形數與2011個三角形數的差是1+2+3+…+2013-（1+2+3+…+2011）=2013+2012=4025．
故答案為：21，

n(n+1)

2

，4025．

點評：本題考查了圖形的變化類問題，解題的關鍵是仔細觀察每個三角形的個數與圖形的關系，然后找到通項公式，從而解決問題．