Question

如圖，兩個同心圓的圓心為O，矩形ABCD的邊AB為大圓的弦，邊DC與小圓相切于點E，連接OE并延長交AB于點F．已知OA=4，AF=2．
    
（1）求AB的長；   
（2）求陰影部分的面積.

Answer 1

（1）4；（2）

試題分析：（1）根據切線的性質可得OE⊥DC，再結合四邊形ABCD為矩形可得OF⊥AB，最后根據垂徑定理即可求得結果；
（2）連接OB，則可得△OAB為等邊三角形，從而得到扇形OAB的圓心角，先根據勾股定理可求得OF的長，再根據陰影部分的面積等于扇形OAB的面積減去△OAB的面積，即可得到結果.
（1）∵DC切小圓O于點E
∴OE⊥DC                  
∵四邊形ABCD為矩形 
∴DC∥AB                          
∴OF⊥AB                     
∴AB=2AF=4；           
（2）連接OB

則OA=OB=AB=4
∴∠AOB=60°           
在Rt△OAF中，OF=
∴S△OAB= 
∵S扇形OAB=       
∴S陰影=S扇形OAB-S△OAB=.
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，同時平分弦所對的弧；同時熟記扇形的面積公式