Question

如圖，已知△ABC中，∠ACB＝，CD⊥AB于D，設AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h，求證：

(1)c＋h＞a＋b；

(2)以a＋b，c＋h，h為三邊可構成一個直角三角形．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)在Rt△ABC中， 　　∵CD⊥AB， 　　∴S△ABC＝CD·AB 　　＝AC·CB， 　　即　　ab＝ch． 　　∴h＝． 　　∴(c＋h)－(a＋b) 　　＝(c＋)－(a＋b) 　　＝ 　　＝ 　　＝． 　　又∵在Rt△ABC中，AB＝c為斜邊， 　　∴c＞a，c＞b． 　　∴＞0． 　　即(c＋h)－(a＋b)＞0． 　　∴c＋h＞a＋b． 　　(2)由(1)得ab＝ch＝2S△ABC，a2＋b2＝c2． 　　∴(c＋h)2＝c2＋h2＋2ch 　　＝c2＋h2＋4S△ABC， 　　(a＋b)2＋h2＝a2＋b2＋2ab＋h2 　　＝c2＋h2＋4S△ABC． 　　∴(a＋b)2＋h2＝(c＋h)2． 　　∴以a＋b，h，c＋h為邊的三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)．

提示：

點撥：要比較a與b的大小，可先求a－b，再將結果與0比較．若a－b＞0，則a＞b；若a－b＝0，則a＝b；若a－b＜0，則a＜b． 　　直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半，也等于斜邊與斜邊上的高的乘積的一半．故兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上的高的乘積．常用此來求出斜邊上的高．