Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B．

（1）求證：△ADF∽△DEC
（2）若AB＝4，AD＝3 ，AE＝3，求AF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥BC AB∥CD

∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°

∵∠AFE+∠AFD=180° ∠AFE=∠B

∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥BC CD=AB=4

又∵AE⊥BC

∴ AE⊥AD

在Rt△ADE中，DE=

∵△ADF∽△DEC

∴

∴ AF=

【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出∠C+∠B=180°、∠ADF=∠DEC，再證明∠AFD+∠AFE=180°、由已知∠AFE=∠B，即可得出∠AFD=∠C，進(jìn)而可證出△ADF∽△DEC。
（2）先證明△ADE是直角三角形，利用勾股定理求出DE的長，再由△ADF∽△DEC得對應(yīng)邊成比例，建立方程求出AF的長。