Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）

（1）若△CEF與△ABC相似，且當AC=BC=2時，求AD的長；

（2）若△CEF與△ABC相似，且當AC=3，BC=4時，求AD的長；

（2）當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1);(2) 1.8或2.5;(3) 當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似．理由見解析.

【解析】

試題（1）△CEF與△ABC相似，又AC=BC=2，可得CE=CF，再證D為AB中點，即可求解；（2）分兩種情況：①當△CEF∽△CAB時，此時EF∥AB，證得CD⊥AB，則可利用AD=ACcosA求解；②當△CEF∽CBA時，分別證得AD=CD，CD=BD，則可求得AD=AB=2.5；（3）利用直角三角形中線的性質得CD=DB，則∠DCB=∠B．又可知∠DCB+∠CFE=90°，∠B+∠A=90°，可證得∠CFE=∠A，則可證得△CEF∽△CBA.

解：（1）如答圖1．∵△CEF∽△ABC，∴=，

又∵AC=BC=2，∴CE=CF，

由翻折性質得CE=DE,CF=DF，∴四邊形CEDF是菱形，

∴∠ACD=∠BCD，

又∵AC=BC，∴AD=BD=AB=×=.

（2）若△CEF與△ABC相似，且當AC=3，BC=4時，有兩種情況：

①當△CEF∽△CAB時，如答圖2．

此時∠CEF=∠A，∴EF∥BC．

由折疊性質可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB=5，∴cosA=．

∴在Rt△ACD中，AD=ACcosA=3×=1.8；

②當△CEF∽CBA時，如答圖3．

此時∠CEF=∠B．

由折疊性質可知，∠CQE=90°，∴∠CEF+∠ECD=90°，

又∵∠A+∠B=90°，

∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．

同理可得CD=BD，

∴AD=AB=×5=2.5．

綜上所述，當AC=3，BC=4時，AD的長為1.8或2.5．

（3）當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似．理由如下：

如答圖4，連接CD，與EF交于點Q．

∵CD是Rt△ABC的中線，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B.

由折疊性質可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°，

又∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A，

又∵∠ECF=∠BCA，∴△CEF∽△CBA.