Question

【題目】如圖，直線y=2x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，把△AOB沿y軸翻折，點A落到點C，過點B的拋物線y=-x2+bx+c與直線BC交于點D（3，-4）．

（1）求直線BD和拋物線的解析式；

（2）在第一象限內的拋物線上，是否存在一點M，作MN垂直于x軸，垂足為點N，使得以M、O、N為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）在直線BD上方的拋物線上有一動點P，過點P作PH垂直于x軸，交直線BD于點H，當四邊形BOHP是平行四邊形時，試求動點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）直線BD的解析式為：y=-2x+2；y=-x2+x+2；（2）（1，2），（，）；（3）P點的坐標為（1，2）或（2，0）．

【解析】

試題分析：（1）由直線y=2x+2可以求出A，B的坐標，由待定系數法就可以求出拋物線的解析式和直線BD的解析式；

（2）如圖1，2，由（1）的解析式設M（a，-a2+a+2），當△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM時，由相似三角形的性質就可以求出結論；

（3）設P（b，-b2+b+2），H（b，-2b+2）．由平行四邊形的性質建立方程求出b的值就可以求出結論．

試題解析：（1）∵y=2x+2，

∴當x=0時，y=2，

∴B（0，2）．

當y=0時，x=-1，

∴A（-1，0）．

∵拋物線y=-x2+bx+c過點B（0，2），D（3，-4），

∴

解得：，

∴y=-x2+x+2；

設直線BD的解析式為y=kx+b，由題意，得

，

解得：，

∴直線BD的解析式為：y=-2x+2；

（2）存在．

如圖1，

設M（a，-a2+a+2）．

∵MN垂直于x軸，

∴MN=-a2+a+2，ON=a．

∵y=-2x+2，

∴y=0時，x=1，

∴C（1，0），

∴OC=1．

∵B（0，2），

∴OB=2．

當△BOC∽△MNO時，

∴，

∴，

解得：a1=1，a2=-2（舍去）

∴M（1，2）；

如圖2，

當△BOC∽△ONM時，

，

∴，

∴a=或（舍去），

∴M（，）．

∴符合條件的點M的坐標為（1，2），（，）；

（3）設P（b，-b2+b+2），H（b，-2b+2）．

如圖3，

∵四邊形BOHP是平行四邊形，

∴BO=PH=2．

∵PH=-b2+b+2+2b-2=-b2+3b．

∴2=-b2+3b

∴b1=1，b2=2．

當b=1時，P（1，2），

當b=2時，P（2，0）

∴P點的坐標為（1，2）或（2，0）．