Question

【題目】如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°

（1）請判斷AB與CD的位置關系并說明理由；

（2）如圖2，當∠E=90°保持不變，移動直角頂點E，使∠MCE=∠ECD，當直角頂點E點移動時，問∠BAE與∠MCD是否存在確定的數量關系？并說明理由；

（3）如圖3，P為線段AC上一定點，點Q為直線CD上一動點，①當點Q在射線CD上運動時（點C除外）∠CPQ+∠CQP與∠BAC有何數量關系？猜想結論并說明理由．②當點Q在射線CD的反向延長線上運動時（點C除外）∠CPQ+∠CQP與∠BAC有何數量關系？直接寫出猜想結論，不需說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB∥CD，理由見解析；（2）∠BAE+∠MCD=90°，理由見解析；（3）①∠BAC=∠PQC+∠QPC ；②∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．

【解析】分析：（1）先根據CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180°，故可得出結論；（2）過E作EF∥AB，根據平行線的性質可知EF∥AB∥CD，∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，故∠BAE+∠ECD=90°，再由∠MCE=∠ECD即可得出結論；（3）根據AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°，∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，故∠BAC=∠PQC+∠QPC．再由AB∥CD得出∠BAC=∠ACQ．再由∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°即可得出結論．

本題解析：

（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，

∵∠EAC+∠ACE=90°， ∴∠BAC+∠ACD=180°， ∴AB∥CD；

（2）∠BAE+ ∠MCD=90°；

過E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，

∵∠E=90°， ∴∠BAE+∠ECD=90°，

∵∠MCE=∠ECD，

∴∠BAE+∠MCD=90°；

（3）①∠BAC=∠PQC+∠QPC ；②∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．