Question

【題目】如圖，AB 是⊙O的直徑，∠DAB的角平分線AC交⊙O于點C，過點C作CD⊥AD于D，AB的延長線與DC的延長線相交于點P，∠ACB的角平分線CE交AB于點F、交⊙O于E．

（1）求證：PC與⊙O相切；

（2）求證：PC＝PF；

（3）若AC＝8，tan∠ABC＝，求線段BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）如圖，連接OC，根據AC是∠DAB的角平分線，證明OC∥AD，進而可證PC與⊙O相切；

（2）根據CF是∠ACB的角平分線，和外角定義即可得∠PFC＝∠PCF，進而得PC＝PF；

（3）根據AB 是⊙O的直徑，可得∠ACB＝90°，根據AC＝8，tan∠ABC＝＝，可得BC＝6，再根據勾股定理和垂徑定理即可得線段BE的長．

（1）如圖，連接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵AC是∠DAB的角平分線，

∴∠DAC＝∠OAC，

∴∠OCA＝∠DAC，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴PC與⊙O相切；

（2）∵CF是∠ACB的角平分線，

∴∠ACF＝∠BCF，

∵∠CAF＝∠PCB，

∴∠ACF+∠CAF＝∠BCF+∠PCB，

∴∠PFC＝∠PCF，

∴PC＝PF．

（3）∵AB 是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝8，tan∠ABC＝＝，

∴BC＝6，

∴AB＝＝10，

∴OB＝OE＝5，

∵∠ACE＝∠BCE，

∴，

∴EO⊥AB，

∴BE＝＝5．