Question

（2012•莆田質檢）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，DG∥AB交BC于點G，CF平分∠BCD交DG于點F，BF的延長線交DC于點E．
（1）求證：△BFC≌△DFC；
（2）在不添加輔助線的情況下，在圖中找出一條與DE相等的線段，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）首先根據角平分線的性質可得∠BCF=∠DCF，再由條件DC=BC，CF=CF即可證明△BFC≌△DFC；
（2）①BG=DE，證明△BFG≌△DFE即可；②AD=DE，首先證明△BFG≌△DFE，根據全等三角形的性質可得DE=BG，再證明四邊形ABGD是平行四邊形，可得AD=BG，進而得到DE=AD．

解答：（1）證明：∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF，
在△DCF和△BCF中
∵

DC=BC ∠DCF=∠BCF CF=CF

，
∴△BFC≌△DFC（SAS）；

（2）①BG=DE，
證明：∵△BFC≌△DFC，
∴BF=DF，∠CBF=∠CDF，
又∵∠BFG=∠DFE，
∴△BFG≌△DFE（ASA），
∴BG=DE；
②AD=DE，
證明：∵△BFC≌△DFC，
∴BF=DF，∠CBF=∠CDF，
又∵∠BFG=∠DFE，
∴△BFG≌△DFE，
∴BG=DE，
∵AD∥BC，DG∥AB，
∴四邊形ABGD是平行四邊形，AD=BG，
∴AD=DE．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，解決此題的關鍵是證明△BFC≌△DFC，△BFG≌△DFE．