Question

【題目】如圖，二次函數y=x2+px+q（p<0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-1），△ABC的面積為。

（1）求該二次函數的關系式；
（2）過y軸上的一點M（0，m）作y軸的垂線，若該垂線與△ABC的外接圓有公共點，求m的取值范圍；
（3）在該二次函數的圖象上是否存在點D，使四邊形ACBD為直角梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=;(2)- ≤m≤;(3) (， 或（-，9）

【解析】試題分析：（1）由△ABC的面積為，可得AB×OC=，又二次函數y=x2+px+q（p＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-1）可求得該二次函數的關系式；
（2）根據直線與圓的位置的位置關系確定m的取值范圍．
（3）四邊形ABCD為直角梯形，要分類討論，即究竟那條邊為底．可以分別以AC、BC為底進行討論．

試題解析：

（1）由點C的坐標為（0，-1），得OC=1，
又∵△ABC的面積為，
∴，即，
由拋物線與y軸交于（0，-1），
得y=x2+px+g（p<0）中的q=-1，
則當y=0時，0=x2+px-1，設它的兩個根為x1、x2，
則x1+x2=-p，x1x2=-1，且A、B兩點的坐標為（x1，0）、（x2，0），
由直角坐標系上兩點間的距離公式可得x2-x1=AB=，
∴，
∴x12+x22-2x1x2=，
∴x12+x22+2x1x2-4x1x2=，
∴（x1+x2）2-4x1x2=，即p2+4=，解得，
∵p<0，∴p=，
∴該拋物線的關系式為；

（2）設△ABC的外接圓交y軸于另一點D，如圖
由得x1=2，，
∴，
連接AD，

在△ABC的外接圓中，
∵，
∴∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，
∴△AOD∽△COB，
∴，
∴，
∴DO=1，
∴CO=DO=1，
又∵AB⊥CD，
∴AB過△ABC外接圓的圓心，即AB為△ABC外接圓的直徑，
∴△ABC外接圓的直徑為，
∴直線與△ABC的外接圓相切，
∴；

（3）存在
∵AB是△ABC外接圓的直徑，
∴∠ACB=90°，這時拋物線上必有點D，且當AD∥BC或BD∥AC時使四邊形ACBD為直角梯形，
當AD∥BC時，可求得直線BC的關系式為，
∴直線AD的關系式為，
則它與拋物線的交點坐標為，
此時點D的坐標為，
當BD∥AC時，可求直線AC的關系式為y=-2x-1，
∴直線BD的關系式為y=-2x+4，
則它與拋物線的交點坐標為，
此時點D的坐標為，
∴當點D在或的位置時，四邊形ACBD為直角梯形。