Question

附加題：
已知將一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB=90°，∠COD=30°）如圖1擺放，點O、A、C在一條直線上．將直角三角板OCD繞點O逆時針方向轉動，變化擺放如圖位置
（1）如圖1，當點O、A、C在同一條直線上時，∠BOD的度數是______；如圖2，若要OB恰好平分∠COD，則∠AOC的度數是______．

（2）如圖3，當三角板OCD擺放在∠AOB內部時，作射線OM平分∠AOC，射線ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB內繞點O任意轉動，∠MON的度數是否發生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由．

（3）當三角板OCD從圖1的位置開始，繞點O逆時針方向旋轉一周，保持射線OM平分∠AOC、射線ON平分∠BOD（∠AOC≤180°，∠BOD≤180°），在旋轉過程中，（2）中的結論是否保持不變？如果保持不變，請說明理由；如果變化，請說明變化的情況和結果（即旋轉角度a在什么范圍內時∠MON的度數是多少）．

Answer 1

（1）∠BOD=90°-∠COD=90°-30°=60°，
∠AOC=90°-

1

2

∠COD=90°-

1

2

×30°=75°．

（2）不變，60°．
根據圖中所示∠MON=

1

2

（∠AOB-∠COD）+∠COD=

1

2

（90°-30°）+30°=60度．

（3）①當0°＜α＜180°時，
∠MON=

1

2

（90°+∠BOC）+

1

2

（30°+∠BOC）-∠BOC=60°
②α=180°時，即∠AOC為平角，
（1）點M在OB上，
∴∠MOD=∠BOC+∠COD=90°+30°=120°，
又∵ON平分∠BOD，
∴∠MON=120×

1

2

=60度．
（2）點M在BO上，
∠MON=180°-60°=120度．
故∠MON=60°或120°
③180°＜α＜240°時，
2（30°+∠MOD）+90°+∠CON+（∠CON+30°）=360°，
解得：∠MOD+∠CON=90°，則
∠MON=90°+30°=120°
③當α=240°時，∠BOD=180°，那么此時N可以平分在∠BOD的左邊，使得∠MON=60°，N平分在∠BOD的右邊，那么∠MON=120°
⑤240°＜α＜360°時，
∠MON=

1

2

（30°-∠AOD）+

1

2

（90°-∠AOD）+∠AOD=60度．