Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點O是AC邊延長線上的一點，以點O為圓心的圓與射線AC交于點D和點H，過點D作DF∥AB，DF交⊙O于點F，交BC邊于點B，且BF=BE．

（1）判斷直線BF與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若∠A=30°，BC=8，EF=6，請求出⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

（1）如圖，連接OF，由BE=BF可得∠BFE=∠BEF，根據直角三角形兩銳角互余可得∠CDE+∠CED=90°，由OD=OF，可得∠OFD=∠ODF，繼而可得到∠OFD+∠BFE=90°，即可證得BF是⊙O的切線；

（2）如圖，連接FH，先證明△BEF是等邊三角形，從而可得BE=EF=6，繼而可得DF=DE+EF=10，由DH是直徑，利用cos30°= ，可求得DH=，即可得答案.

（1）結論：BF是⊙O的切線；

理由：如圖，連接OF，

∵BE=BF，

∴∠BFE=∠BEF，

∵∠ACB=90°，

∴∠CDE+∠CED=90°，

∵OD=OF，

∴∠OFD=∠ODF，

∵∠BEF=∠DEC，

∴∠OFD+∠BFE=90°，

∴∠OFB=90°，

∴OF⊥BF，

∴BF是⊙O的切線；

（2）如圖，連接FH，

∵DF∥AB，∠A=30°，

∴∠ODF=∠A=30°，

∴∠DEC=∠BEF=60°，

∵BE=BF，

∴△BEF是等邊三角形，

∴BE=EF=6，

∵BC=8，

∴EC=2，DE=2EC=4，

∴DF=DE+EF=10，

∵DH是直徑，

∴∠DFH=90°，

∴cos30°= ，

∴DH=，

∴⊙O的直徑為．