Question

【題目】如圖，BD是⊙O的直徑，弦AC平分∠BCD，若四邊形ABCD的面積為2，則AC＝_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

設BC=a，CD=b，根據圓周角定理得到∠BAD=∠BCD=90°，根據勾股定理得到BD= ，推出△ABD是等腰直角三角形，根據四邊形的面積列方程得到a+b=2（負值舍去），過B作BE⊥AC于E，過D作DF⊥AC于F，得到△CBE和△CDF是等腰直角三角形，求得BE=BC=a，DF=CD=b，于是得到結論．

解：設BC＝a，CD＝b，

∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BAD＝∠BCD＝90°，

∴BD＝，

∵AC平分∠BCD，

∴ ，∠ACB＝∠ACD＝45°，

∴AB＝AD，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴四邊形ABCD的面積＝S△ABD+S△BCD＝（）×（）+ab＝（a2+b2）+ab＝（a+b）2＝2，

∴a+b＝（負值舍去），

過B作BE⊥AC于E，過D作DF⊥AC于F，

則△CBE和△CDF是等腰直角三角形，

∴，，

∴四邊形ABCD的面積＝S△ABC+S△ACD＝ACBE+ACDF＝（BE+CF）AC，

∴AC＝2，

故答案為：2．