Question

在平面直角坐標系中，已知M₁（3，2），N₁（5，﹣1），線段M₁N₁平移至線段MN處（注：M₁與M，N₁與N分別為對應點）．

（1）若M（﹣2，5），請直接寫出N點坐標．
（2）在（1）問的條件下，點N在拋物線上，求該拋物線對應的函數解析式．
（3）在（2）問條件下，若拋物線頂點為B，與y軸交于點A，點E為線段AB中點，點C（0，m）是y軸負半軸上一動點，線段EC與線段BO相交于F，且OC：OF=2：，求m的值．
（4）在（3）問條件下，動點P從B點出發，沿x軸正方向勻速運動，點P運動到什么位置時（即BP長為多少），將△ABP沿邊PE折疊，△APE與△PBE重疊部分的面積恰好為此時的△ABP面積的，求此時BP的長度．

Answer 1

解：（1）（0，2）。
（2）∵N（0，2）在拋物線上，∴k=2。

∴拋物線的解析式為。
（3）∵，
∴B（，0）、A（0，2）、E（，1）。
∵CO：OF=2：，
∴CO=﹣m，FO=m，。
∵，∴。
整理得：m²+m=0。∴m=﹣1或0 。
∵m＜0，∴m=﹣1。
（4）在Rt△ABO中，，
∴∠ABO=30°，AB=2AO=4
①當∠BPE＞∠APE時，連接A₁B，則對折后如圖2，A₁為對折后A的所落點，△EHP是重疊部分。

∵E為AB中點，∴S_△AEP=S_△BEP=S_△ABP。
∵S_△EHP=S_△ABP，∴ =S_△EHP=S_△BHP=S_△ABP。
∴A₁H=HP，EH=HB=1。∴四邊形A₁BPE為平行四邊形。
∴BP=A₁E=AE=2。
②當∠BPE=∠APE時，重疊部分面積為△ABP面積的一半，不符合題意。
③當∠BPE＜∠APE時．則對折后如圖3，A₁為對折后A的所落點，△EHP是重疊部分。

∵E為AB中點，∴S_△AEP=S_△BEP=S_△ABP。
∵S_△EHP=S_△ABP，∴S_△EBH=S_△EHP=₌S_△ABP。
∴BH=HP，EH=HA₁=1。
又∵BE=EA=2，∴EHAP。∴AP=2。
在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2，
∴∠APB=90°。∴BP=。
綜上所述，BP=2或。

試題分析：（1）首先根據點M的移動方向和單位得到點N的平移方向和單位，然后按照平移方向和單位進行移動即可：
由于圖形平移過程中，對應點的平移規律相同，
由點M到點M′可知，點的橫坐標減5，縱坐標加3，
故點N′的坐標為（5﹣5，﹣1+3），即（0，2）。
（2）將點N的坐標代入函數的解析式即可求得k值。
（3）配方后確定點B、A、E的坐標，根據CO：OF=2：，用m表示出線段CO、FO和BF的長，利用得到關于m的方程，求得m的值即可。
（4）分當∠BPE＜∠APE時、當∠BPE=∠APE時、當∠BPE＜∠APE時三種情況分類討論即可。