Question

【題目】已知:是的內接三角形,且,直徑交于點.

如圖1 ,求證：；

如圖2,將線段繞點順時針旋轉得到線段,旋轉角為連接分別交,于點,連接,求證: ；

如圖3,在(2)的條件下,當時,交于點若求的長.

Answer 1

【答案】見解析；見解析；6

【解析】

（1）如圖 1，連接OB，OC，首先證明AO是線段的垂直平分線，再根據等腰三角形三線和一的性質即可證明；

（2）首先根據旋轉的性質得到，又因為，從而得到，即可推出，再根據，即可推出結論；

（3）過點作交的延長線于點，過點作交的延長線于點，過點作于點，連接先證明，再證明四邊形是矩形，推出，，在中，

，求出，在中，求出，在中， ，最后證明是等邊三角形，即可求出OA的長度.

（1）如圖 1，連接OB，OC，

，

點在線段的垂直平分線上，

同理點在線段的垂直平分線上，

直線是線段的垂直平分線，

；

如圖 2

∵，，

∴，

∴，

又∵，

∴；

如圖 3，過點作交的延長線于點，過點作交的延長線于點，過點作于點，連接

，

，

又，

∴，

，

，

四邊形是矩形，

，

，

，

，

∴，

，

，

，

，

，

即，

，

∴，

在中，

∵，

，

，

∴，

在中，，

在中， ，

，

∴是等邊三角形，

，

.