Question

【題目】如圖，點A(1， 0)、B(4，0)、M(5，3)．動點P從A點出發，沿x軸以每秒1個單位的速度向右移動，過點P的直線l：y= -x+b也隨之移動．設移動時間為t秒．

（1）當t=1時，求直線l的解析式．

（2）若直線l與線段BM有公共點，求t的取值范圍．

（3）當點M關于直線l的對稱點落在坐標軸上時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+2；（2）3≤t≤7；（3）t=2或4

【解析】

（1）先根據點P的運動路徑表示出點P的坐標，然后將t=1代入即可得出點P的坐標，最后根據待定系數法即可確定l的解析式；

（2）先分別找出直線l過點B、M時b的值，然后再根據一次函數圖像上點的坐標特征解答即可；

（3）分對稱點落在x軸和y軸上兩種情況討論，先用待定系數法求出直線MC的解析式，則直線MC與x、y軸的交點將是點M關于直線l的對稱點，再找出兩直線的交點坐標，最后根據一次函數圖像上的點坐標特征解答即可．

解：（1）直線y=-x+b交x軸于點P（1+t，0）

由題意，得b＞0，t≥0

當t=1時，-2+b=0

解得b=2

故y=-x+2；

（2）當直線y=-x+b過點B（4，0）時，0=-4+b，得：b=4，0=-（1+t）+4，解得t=3．

當直線y=-x+b過點M（5，3）時，3=-5+b，得：b=8，0=-（1+t）+8，解得t=7．

故若l與線段BM有公共點，t的取值范圍是：3≤t≤7．

（3）如圖，過點M作MC⊥直線l，交y軸于點C，交直線l于點D，則點C為點M在坐標軸上的對稱點．設直線MC的解析式為y=x+m，則：3=5+m，解得m=-2，

故直線MC的解析式為y=x-2．

當x=0時，y=0-2=-2，則C點坐標為（0，-2），

∵（0+5）÷2=2.5，（3-2）÷2=0.5，∴D點坐標為（2.5，0.5），

當直線y=-x+b過點D（2.5，0.5）時，0.5=-2.5+b，解得：b=3，

0=-（1+t）+3，解得t=2．∴t為2時，點M關于l的對稱點落在y軸上．

直線MC分別與x軸、直線l交與點E，F，則E（2， 0）

F(3.5， 1.5 ).即1.5=-3.5+b， b=5

t=4時點M關于l的對稱點落在x軸上

綜上，t=2或4時，M的對稱點在坐標軸上．