Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E，F分別在邊CD，BC上，且∠EAF=45°，BD分別交AE，AF于點M，N，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧BD．下列結論：①DE+BF=EF；②BN2+DM2=MN2；③△AMN∽△AFE；④ 與EF相切；⑤EF∥MN．其中正確結論的個數是（ ）

A.5個
B.4個
C.3個
D.2個

Answer 1

【答案】B
【解析】延長CB到G，使BG=DE，連接AG．

在△ABG和△ADE中， ，

∴△ABG≌△ADE，

∴AG=AE，∠DAE=∠BAG，

又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，

∴∠DAE+∠BAF=45°

∴∠GAF=∠EAF=45°．

在△AFG和△AFE中，

，

∴△AFG≌△AFE，

∴GF=EF=BG+BF，

又∵DE=BG，

∴EF=DE+BF；故①正確；

在AG上截取AH=AM．

在△AHB和△AMD中， ，

∴△AHB≌△AMD，

∴BH=DM，∠ABH=∠ADB=45°，

又∵∠ABD=45°，

∴∠HBN=90°．

∴BH2+BN2=HN2．

在△AHN和△AMN中，

，

∴△AHN≌△AMN，

∴MN=HN．

∴BN2+DM2=MN2；故②正確；

∵AB∥CD，

∴∠DEA=∠BAM．

∵∠AEF=∠AED，∠BAM=180°﹣∠ABM﹣∠AMN=180°﹣∠MAN﹣∠AMN=∠AND，

∴∠AEF=∠ANM，

又∠MAN=∠FAE，

∴△AMN∽△AFE，故③正確；

過A作AP⊥EF于P，

∵∠AED=∠AEP，AD⊥DE，

∴AP=AD，

∴ 與EF相切；故④正確；

∵∠ANM=∠AEF，而∠ANM不一定等于∠AMN，

∴∠AMN不一定等于∠AEF，

∴MN不一定平行于EF，故⑤錯誤，

所以答案是：B．

【考點精析】利用正方形的性質和切線的性質定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．