Question

如圖，已知一次函數y=x+2的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，圓O₁過以OB為邊長的正方形OBCD的四個頂點，兩動點P、Q同時從點A出發在四邊形ABCD上運動，其中動點P以每秒

2

個單位長度的速度沿A→B→C運動后停止，動點Q以每秒2個單位長度的速度沿A→O→D→C→B運動，AO₁交于y軸于E點，P、Q點運動的時間為t（秒）
（1）點E的坐標是

（0，

2

3

）

；
（2）三角形ABE的面積是

4

3

；
（3）當Q點運動在線段AD上時，是否存在某一時刻t（秒），使得S_△APQ：S_△ABE=3：4？若存在，請確定t的值和直線PQ所對應的函數解析式；若不存在，請說明理由？

Answer 1

分析：（1）先求出A點坐標（-2，0），B點坐標（0，2），利用正方形的性質可得到O₁的坐標為（1，1），然后利用待定系數法可求出直線O₁A的解析式為y=

1

3

x+

2

3

，再令x=0，則y=

2

3

，即可得到E點坐標；
（2）利用三角形的面積公式S_△ABE=

1

2

BE•OA計算即可；
（3）由（1）得到△OAB為等腰直角三角形，則AB=

2

OB=2

2

，由于動點Q以每秒2個單位長度的速度沿A→O→D→C→B運動，動點P以每秒

2

個單位長度的速度沿A→B→C運動，而Q點運動在線段AD上時，則有0≤t≤2，此時點P在AB上，過點P作PF⊥AD于點F，利用S_△APQ：S_△ABE=3：4，得到S_△APQ=

3

4

S_△ABE=

3

4

×

4

3

=1，又AP=

2

t，則PF=

2

2

AP=t，而AQ=2t，所以有S_△APQ=

1

2

AQ•PF=

1

2

×2t×t=1，可求出k=1，易得點Q與點O重合，即點Q的坐標為（0，0），OF=1，可得到點P坐標為（-1，1），然后利用待定系數法可求出直線PQ的解析式．

解答：解：（1）對于y=x=2，令x=0，則y=2；令y=0，則x+2=0，解得x=-2
∴A點坐標為（-2，0），B點坐標為（0，2），
∵正方形OBCD是OB為邊長的正方形，
∴O₁的坐標為（1，1）
設直線O₁A的解析式為y=kx+b，
把A（-2，0），O₁（1，1）分別代入得

-2k+b=0 k+b=1

，解得

k= 1 3 b= 2 3

，
∴直線O₁A的解析式為y=

1

3

x+

2

3

，
令x=0，則y=

2

3

，
∴點E坐標為（0，

2

3

）；
（2）S_△ABE=

1

2

BE•OA=

1

2

×（2-

2

3

）×2=

4

3

；
故答案為（0，

2

3

）；

4

3

；
（3）存在．理由如下：
∵OA=OB=2，AD=4，
∴△OAB為等腰直角三角形，則AB=

2

OB=2

2

，
∵動點Q以每秒2個單位長度的速度沿A→O→D→C→B運動，動點P以每秒

2

個單位長度的速度沿A→B→C運動，而Q點運動在線段AD上時，
∴0≤t≤2，此時點P在AB上，
過點P作PF⊥AD于點F，如圖，
∵S_△APQ：S_△ABE=3：4，
∴S_△APQ=

3

4

S_△ABE=

3

4

×

4

3

=1，
∵AP=

2

t，
∴PF=

2

2

AP=t，
而AQ=2t，
∴S_△APQ=

1

2

AQ•PF=

1

2

×2t×t=1，
∴t=1，
∴AQ=2t=2×1=2，PF=1，
∵AO=2，
∴點Q與點O重合，即點Q的坐標為（0，0），OF=1，
∴點P坐標為（-1，1）
設直線PQ的解析式為y=mx，
把P（-1，1）代入得1=-m，即m=-1，
∴直線PQ的解析式是y=-x．

點評：本題考查了圓的綜合題：圓上的點到圓心的距離都等于圓的半徑；待定系數法是求函數解析式常用的方法；熟練掌握正方形和等腰直角三角形的性質以及坐標軸上點的坐標特點．