Question

【題目】如圖，已知平行四邊形ABCD及四邊形外一直線l，四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D到直線l的距離分別為a、b、c、d．

（1）觀察圖形，猜想得出a、b、c、d滿足怎樣的關(guān)系式？證明你的結(jié)論．

（2）現(xiàn)將l向上平移，你得到的結(jié)論還一定成立嗎？請(qǐng)分情況寫出你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）a、b、c、d滿足a+c=b+d（2）不一定成立．

【解析】試題分析：（1）此題可以連接平行四邊形的對(duì)角線，交點(diǎn)是O．作OO1⊥l于O1．根據(jù)梯形的中位線定理得到2OO1=DD1+BB1=b+d=AA1+CC1=a+c．

（2）將l向上平移，分別有直線l過B點(diǎn)時(shí)；直線l過B點(diǎn)與D點(diǎn)之間時(shí)；直線l過D點(diǎn)時(shí)；直線l過C點(diǎn)與D點(diǎn)之間時(shí)；直線l過C點(diǎn)時(shí)；直線l過C點(diǎn)上方時(shí)．結(jié)合三角形的中位線定理和梯形的中位線定理進(jìn)行分析．

試題解析：（1）a、b、c、d滿足a+c=b+d．

證明：連接AC、BD，且AC、BD相交于點(diǎn)O，OO1為點(diǎn)O到O1的距離，

∴OO1為直角梯形BB1D1D的中位線，

∴2OO1=DD1+BB1=b+d；

同理：2OO1=AA1+CC1=a+c．

∴a+c=b+d．

（2）不一定成立．

分別有以下情況：

直線l過A點(diǎn)時(shí)，c=b+d；

直線l過A點(diǎn)與B點(diǎn)之間時(shí)，c﹣a=b+d；

直線l過B點(diǎn)時(shí)，c﹣a=d；

直線l過B點(diǎn)與D點(diǎn)之間時(shí)，a﹣c=b﹣d；

直線l過D點(diǎn)時(shí)，a﹣c=b；

直線l過C點(diǎn)與D點(diǎn)之間時(shí)，a﹣c=b+d；

直線l過C點(diǎn)時(shí)，a=b+d；

直線l過C點(diǎn)上方時(shí)，a+c=b+d．