Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A(1，0)，C(0，2)．

(1)求拋物線的表達式；

(2) 請你在拋物線的對稱軸上找點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形，所有符合條件的點P的坐標分別為 ；

(3)點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）S四邊形CDBF的面積最大=，E（2，1）

【解析】

（1）直接把A點和C點坐標代入y=﹣x2+mx+n得m、n的方程組，然后解方程組求出m、n即可得到拋物線解析式；

（2）先利用拋物線對稱軸方程求出拋物線的對稱軸為直線x=﹣，則D（，0），則利用勾股定理計算出CD=，然后分類討論：如圖1，當CP=CD時，利用等腰三角形的性質易得P1（，4）；當DP=DC時，易得P2（，），P3（，﹣）；

（3）先根據拋物線與x軸的交點問題求出B（4，0），再利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=﹣x+2，利用一次函數圖象上點的坐標特征和二次函數圖象上點的坐標特征，設E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），則F（x，﹣x2+x+2），則FE=﹣x2+2x，由于△BEF和△CEF共底邊，高的和為4，則S△BCF=S△BEF+S△CEF=4EF=﹣x2+4x，加上S△BCD=，所以S四邊形CDBF=S△BCF+S△BCD=﹣x2+4x+（0≤x≤4），然后根據二次函數的性質求四邊形CDBF的面積最大，并得到此時E點坐標．

（1）∵拋物線y=﹣x2+mx+n經過A（﹣1，0），C（0，2）．

∴解得：，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2；

（2）拋物線的對稱軸為直線，則D（，0），

∴，

如圖1，

當CP=CD時，則P1（，4）；

當DP=DC時，則P2（，），P3（，﹣），

綜上所述，滿足條件的P點坐標為P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；

（3）當y=0時，0=﹣x2+x+2

∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．

設直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得

，解得：，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+2．

如圖2，過點C作CM⊥EF于M，

設E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），

∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．

∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BDOC+EFCM+EFBN，

=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），

=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+

∴a=2時，S四邊形CDBF的面積最大=，

∴E（2，1）．