Question

如圖，四邊形OABE中，∠AOE=∠BEO=90°，OA=3， OE==4，BE=1，點C，D是邊OE（與端點O、E不重合）上的兩個動點且CD=1．

（1）求邊AB的長；
（2）當△AOD與△BCE相似時，求OD的長.
（3）連結AC與BD相交于點P，設OD=x，△PDC的面積記為y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

（1）AB=；（2）；（3）y=

試題分析：（1）作BF⊥AO，構造矩形OEBF和直角三角形AFB，利用勾股定理求出AB的長；
（2）分兩種情況討論：①當時，△AOD∽△BEC；②當時，△AOD∽△CEB；然后根據相似三角形的性質解答；
（3）作PH⊥OE于H．可得△PHC∽△AOC，△PHD∽△BED，然后根據相似三角形的性質，求出函數解析式．
（1）作BF⊥AO，則四邊形OEBF為矩形，

∵BF=OE=4，AF=AO-BE=3-1=2
∴在Rt△AFB中，；
（2）設OD=a，則CE=4-a-1=3-a，
∵∠AOD=∠BEC=90°，
①當時，△AOD∽△BEC
∴，解得；
②當時，△AOD∽△CEB
∴
∴a²-3a+3=0，此方程無實數根，
綜上所述，；
（3）作PH⊥OE于H

可得，△PHC∽△AOC，△PHD∽△BED，

∴DH=PH（4-x），
∴CD=CH+DH=PH（x+1）+PH（4-x）=1，

點評：本題知識點多，綜合性強，難度較大，是中考常見題，正確作出輔助線是解題的關鍵．