Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0），（0，6）．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)C從B出發(fā)，沿射線(xiàn)BO方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，以CP，CO為鄰邊構(gòu)造平行四邊形PCOD，在線(xiàn)段OP延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)E，使PE=AO，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到線(xiàn)段OB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值及點(diǎn)E的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形ADEC的面積為S．

①求證：四邊形ADEC為平行四邊形．

②寫(xiě)出s與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出t的取值范圍．

（3）是否存在某一時(shí)刻，使OC是PC的一半？若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=，E（，0）；（2）①證明見(jiàn)解析；②s=36﹣6t﹣2t2（ 0＜t＜3 ）；（3）存在，，或．

【解析】

（1）根據(jù)B的坐標(biāo)（0，6）可得OB=6，再由BC=OB，即可得BC=3，從而求出時(shí)間t，根據(jù)OE=OP+PE求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）①連接CD交OP于點(diǎn)G，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分的性質(zhì)可得CG=DG，OG=PG，又因PE=AO，可得AG=EG，再根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形即可得四邊形ADEC為平行四邊形．；

②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，用t表示出AE、OC的長(zhǎng)，代入即可得s與t的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)點(diǎn)C移動(dòng)的距離和速度求出t的取值范圍；

（3）在Rt△COP中，由已知OC是PC的一半，即可得∠CPO=30°，分兩種情況，①點(diǎn)C在線(xiàn)段OB上，②點(diǎn)C在線(xiàn)段OB延長(zhǎng)線(xiàn)上，在Rt△COP中，利用求解即可．

解：（1）∵B（0，6），∴OB=6，

點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到線(xiàn)段OB的中點(diǎn)時(shí)，BC=3，∴t=，

則OP=，OE=OP+PE=OP+OA=，

∴E（，0）；

（2）①如圖1，連接CD交OP于點(diǎn)G，

在平行四邊形PCOD中，CG=DG，OG=PG，

∵AO=PE，

∴AG=EG，

∴四邊形ADEC是平行四邊形；

②∵AE=t+6，OC=6﹣2t，

∴s=×AE×OC×2=（t+6）×（6﹣2t）

=36﹣6t﹣2t2（ 0＜t＜3 ）

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段OB上時(shí)，OC=PC，則∠CPO=30°，

，

即，解得，，

如圖3，當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段OB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，

，解得，．